探寻同时性的奥秘：（5）原来“无穷”不是梦——无穷的相速与群速；理论与应用（下篇，第I部分）

在分析有关无穷相速或群速的具体例子之前，让我们先简单介绍一下所需的背景知识，这就是物体的局域属性与非局域属性之间以及局域效应与非局域效应之间的区别。

先说局域属性与非局域属性。如果物体的某种物理性质可以在物体内逐点进行定义，它不需要涉及物体的宏观与整体特征，我们把这样的性质叫做局域属性（特征）；反之，如果物体的某种物理性质所描述的是物体的宏观与整体特征，我们把这样的物理性质叫做非局域属性（特征）。比如，物体的密度就是一个局域属性，因为它可以在物体内逐点进行定义，且不同的点可以有不同的密度数值；但物体的（总）质量却是一个反映物体的宏观与整体特征的物理量，所以按照规定它是一个非局域属性。又比如，一个由合金制成的导体的电阻率可以在导体内逐点进行定义，其数值也可以从一点到另一点发生变化，所以电阻率可以视为该导体的一个局域属性；但另一方面，一个电路或导体的（总）电阻却是一个反映该电路或导体的宏观与整体特征的物理量，所以，（总）电阻是一个非局域属性。还比如，在静磁场内转动的（平面）感应线圈，线圈所覆盖的那部分区域内任一点的磁感应强度无疑都是局域属性或特征，但通过该线圈的磁通量以及其时间变化率却是非局域属性或特征。最后，一个弹性体的杨氏模量可以视作局域属性，但是该弹性体的原长、弹性系数、以及它在某个外力作用下的总形变却都只能归类于非局域属性，不过，这是后话。特别地，单就几何属性来说，显然一维物体的（总）长度、二维物体的（总）表面积以及三维物体的（总）体积都属于非局域属性。不难理解，一个非局域属性（特征）的时间变化率也必然是非局域属性（特征）。

那么什么是非局域效应呢？如果在某个物理过程中，某个物理量的产生以及潜在变化是同步地发生于该物体的所有各个部分的，我们把这样的物理量叫做非局域效应，或者叫做非局域物理量；反之，如果某个物理量的产生以及潜在变化有一个从一处到另一处的传播过程，我们把这样的物理量叫做局域效应，或者叫做局域物理量。

按照定义，包括水波、声波、以及电磁波等在内的所有的波动当然是局域效应，因为它们的产生以及潜在变化都需要一个时间过程，都是以有限的速度发生的。但是另一方面，如果某个物理量的产生与变化却是同步发生于物体的空间各个部分的，那么根据本文《中篇》的有关结论，该物理量的相速实质上处处等于无穷，即非局域效应等价于有着某个空间分布的物理量处处同步发生，或者说其相速处处无穷。于是一个有意思的问题便是：现实世界中究竟有哪些物理量，它们的产生以及变化属于非局域效应呢？在回答这个问题之前，让我们先考察一下物体的局域属性与局域效应之间以及非局域属性与非局域效应之间可能存在的潜在因果关系。

首先，如果一个物理量是由物体的局域属性或特征所完全决定的，那么由于局域属性只反映物体的单点的或局部的性质，它不像非局域属性或特征有可能反映物体各个部分之间固有的或内在的联系，所以这样的物理量不可能同步发生于物体的各个部分，即它只能属于局域效应。换句话说，非局域效应不可能由局域属性所完全确定，它只能由非局域属性所决定，我们这个结论称作非局域效应的必要条件。

但是另一方面，是否由非局域属性或特征所决定的物理量一定是非局域效应，即必然同步发生于物体的各个部分，即非局域属性作为非局域效应的充分条件也必然成立呢？为了慎重起见，我们暂不作此一般性结论，但需要指出的是，这个结论对本篇稍后将要考察的几个例子都是成立；不过，不管这个结论在更一般的意义上是否成立，由此前的非局域效应的必然条件我们至少知道，为了发现任何非局域效应，我们必须从那些由非局域属性或特征所决定的物理量中去寻找。

好了，有了以上的理论准备，我们便可以更深入地探讨无穷相速的问题了。

那么现实世界中都有哪些物理现象展示了无穷的相速尤其是处处无穷相速这一不同寻常的特征呢？或者说，究竟哪些物理现象必然涉及同步生起、同步运行的问题呢？以下我们分析三个例子：直流电流，磁感应电流，以及发射天线内电流元的生起机制；更多的例子将会在本书的其它章节涉及到。

例一、   直流电路内的电流

在如图5j（a）所示的直流电路中，我们关心的是在开关闭合的那一刹那，电阻R₁右侧的那部分电路其内的电流以何种方式产生并传播的问题，即：是像图5j（b）所示的那样于异地同步生起呢，还是像图5j（c）中所示的那样在一处生起然后传播至另外一处？

图5j：

对图5j的说明：图5j（a）显示的是一个由电池、电阻R₁、R₂、R₃以及开关所组成的直流电路，我们关心的是在开关闭合的那一刹那，电路内的电流如何产生或传播的问题；图5j（b）所显示的是，在直流电路开关闭合的那一刹那，由于直流电压同步施加于电路的各个部分，所以电路内各处的电流将同步形成，所以在此情况下电流的相速为处处无穷；图5j（c）所显示的是，在直流电路开关闭合的那一刹那，由于直流电压在电路内有一个传播过程与传播时间问题，所以直流电流的形成也必然有一个时间先后问题，因此在此情况下电流的相速是一个有限值。图5j（c）中的虚线箭头代表了真实电流（图中以实线箭头表示）的将来位置，以下诸图都将沿用此惯例。

那么究竟是图5j（b）所示的情况更真实地反映了现实呢，还是图5j（c）所示的情况更合理、更正确？乍看起来，该问题似乎无从入手，但若深入思考，其中也并非无理可循。事实上，如果仔细琢磨一下图5j（b）所示的那种情况，便不难发现，如果它真的是物理现实的正确反映的话，那么它一定揭示了直流电路内各处电流元之间所存在的一种内在而深刻的联系，为什么呢？试想：如果在开关闭合的那一刹那，电流于整个电路的所有各处同步生起，那么这一定是因为：要么（1）整个电路内的直流电流本来就是一个有机而不可分割的整体，或者至少可以被视作如此，比如，它可以是像平动中的刚体的各个部分所形成的那种整体性（注），或者也可以是像此前所研究过的带电物体其静电场所展示出的那样的刚性（注）；要么（2）整个直流电路内的各个电流元在生起之时，甚至在生起之前，它们貌似是经过了统一协调了的，否则无法解释它们惊人的完全同步。而两相对照，则图5j（c）中显然不存在以上所说的那种联系。事实上，与图5j（c）中所描述的最为接近的已知的物理现实无非是以有限速度传播的电磁辐射，而电磁辐射现象中却不存在也不可能存在反映事物之间更深刻关联性的、犹如（1）或（2）中所述的那种场景。当然，对绝大多数人来说，情形（2）因为赋予了电流元某种灵性而不是一个可行的选项，不过没关系，那就让我们集中考虑情形（1）吧。

为了更好地把握有关问题，不妨让我们再换个角度把以上的讨论重述一下：如果图5j（b）中的情况是成立的，那么直流电流就是一种非局域现象，即它是由电路的非局域属性所决定的非局域效应；反之，如果图5j（c）中的情况是成立的，则直流电流只是一种局域现象，即原则上它应该是仅由局域变量所决定的局域因果关系。那么决定直流电流的究竟是电路的局域属性还是非局域属性呢？值得庆幸的是，这个问题早已有了明确无误的答案，这就是欧姆（Georg Ohm，1789-1854）定律，因为该物理定律清楚地告诉我们，直流电流是由直流电路的总电阻与总电压这样的非局域属性所决定的非局域效应，且它必然同步发生于直流电路的各个部分；以下我们将对此做更详细的描述与论证。

有人可能纳闷儿了：直流电路的总电阻是非局域属性？直流电流是非局域效应？还是欧姆定律这样告诉我们的？这些听起来可都真新鲜呢；哎，那就对了，难道你不知道于平淡中发掘神奇是做学问的一种美妙境界吗？

好了，言归正传；我们先说欧姆定律，然后再解释它为什么揭示了这样一个道理，即直流电流是一种非局域效应。

如所周知，欧姆定律描述了直流电路内的电流、电路的总电阻以及加在电路两端的总电压这三者之间的联系，特别地，如果以V代表电路两端的电压，以R代表电路的总电阻，那么根据欧姆定律，直流电路内电流I的大小将由

I=V/R……（1）

所给出。乍看起来，公式（1）似乎并没有涉及非局域属性或效应的问题，但是我们不要忘记了，总电阻R所反映的可是整个电路的总体特征啊，这是什么意思呢？这就是说，一个电路的总电阻实际上就是该电路的非局域属性，因为一方面，它是由该电路内所有的部分电阻所共同叠加而成的（注），而另一方面，它又反映了直流电路的宏观与整体特征，犹如一维直棒的总长度、二位曲面的总表面积以及三维空间内物体的总体积等是物体的宏观与整体特征一样，也犹如弹簧的原长以及它在外力作用下的总形变、穿过电磁感应线圈的磁通量及其时间变化率以及密闭容器内气体的压强等属于非局域特征一样。

接下来，以图5j（a）为例，如果R₁、R₂、R₃代表了电路内的所有电阻的话，那么显然有总电阻R=R₁+R₂+R₃，即总电阻乃由各个部分电阻所共同叠加而成，当然，图5j（a）把有关情况理想化了，事实上，R₁、R₂、R₃之外的电路当然也有微小的电阻，如果以r记其余所有电阻之和，则图5j（a）中电路的总电阻则应为R=R₁+R₂+R₃+r。请注意，最后一个表达式不仅没有削弱其实是反而加强了我们以上的有关论点，因为它现在更加清楚地表明了，总电阻确确实实是一个描述整个电路总体特征的物理量，如前所述，这样的物理量有一个描述它的专有名字叫非局域。不难理解，加在直流电路两端的总电压也是一个宏观与非局域特征，因为如所周知，加于整个电路的总电压也是由所有各个部分电路上的分电压所共同叠加而成的（注）。

有人可能说了：好吧，就算你是对的，直流电路的总电阻与总电压都属于非局域属性或特征，那怎么直流电流怎么就成了非局域效应了呢？那acarefreeman也反问一下：难道根据欧姆定律，由电路的非局域属性即总电阻与电路的非局域特征即总电压所决定的物理量会是一个简单的局域效应吗？

好吧，耳听为虚，眼见为实；那我们何不把有关结论严格论证一番？

不过，在做正式论证之前，让我们先对欧姆定律做一个重要说明：即该定律不仅对整个直流电路是成立的，而且对各个部分电路也是成立的；逻辑上，这件事等价于加在直流电路上的总电压等于它的各个部分电路上的分电压之和（注）。

有了以上的准备，我们便可以开始论证直流电路内的电流是一个同步生起于电路的各个部分的非局域效应这一命题了，不难理解，该命题其实等价于直流电路的总电压总是同步施加于它的各个部分电路之上的，因为根据牛顿第二定律，运动的产生与作用力的施加之间没有延时。

为了简化证明，让我们假定整个直流电路是由具有单一电阻率ρ、统一横截面A且总长为L的纯电阻所构成的，并记k=ρ/A，于是电路的总电阻R可以表示为（注）

R=ρL/A=k L……（2a）

请注意，公式（2a）是对整个直流电路而言的；特别地，如果我们所考虑的只是整个电路中长度为l的一个部分电路，其中l是一个可调值，则易见这部分电路所对应的那部分电阻r应为

r=k l……（2b）

显然，当l趋向于零时，r也将趋向于零；这一点稍后我们会在证明中用到。

接下来，让我们假定直流电流不是一个非局域效应，或者等价地，假定加在直流电路两端的电压不是即时同步地施加于它的各个部分电路之上的，或者换句话说，电路总电压有一个从电路的一处（部分）传播到电路的另一处（部分）这样一个物理过程，且不失一般性地，假定电压在电路内传播的速度为常数C，那么显然当电路开关闭合之后，电路总电压的介于0值与峰值V之间的任何一个电压数值ε（注）都总共需要

T=L/C……（3a）

的时间才能完全施加于整个电路（注），而对于t∈[0, T] 的任何一个t值，显然此时ε所覆盖的电路长度为（注）

l=t C……（3b）

而此后随着t值的不断增大，ε所覆盖电路的长度也不断增大，直至ε最终覆盖整个电路l=L。当然，为了更好地说明问题，我们可以假定以上所考虑的只是某个特定的电压值，如峰值ε=V。

读到这里，大家发现了其中的问题了吗？记住了，欧姆定律可是既适用于全部电路又适用于部分电路的哦，但如果在某个时刻t，电压的峰值ε=V是施加于长度为l因而其电阻值为r=kl的那部分电路的两端的，那么，该电压于该部分电路所产生的电流也就应该是

i=V/r=V/（k l）=（V/k）（1/l）……（4）

请注意，公式（4）的最右端的第一项是一个常数，而根据（3b），其第二项则由于分母l=t C在t接近于零可以非常接近于零而变得非常大，至少，它可以远远大于当l取最大值L时的数值1/L，而稍加思考后便会发现，当l=L时，公式（4）恰恰变成了表述整个电路特征的欧姆定律，即公式（1）。这是什么意思呢？这就是说，如果加于直流电路两端的电压真的有一个传播过程的话，那么直流电路内的电流其大小也就必然严重偏离欧姆定律的表述；换句话说，只要欧姆定律严格成立，那么直流电流就一定是一个由直流电路的非局域属性与非局域特征所决定的非局域性质的物理量。

所以，我们的结论是，如果欧姆定律对于直流电路是严格成立的，那么直流电压总是同步地施加于整个电路的所有组成部分之上的，因而直流电流也必然是在整个电路内的所有各处同步生起的非局域效应。

事实上，支持直流电流是一个非局域效应的证据，或者对它做这样理解的方式，可不止以上这些，比如，采用反证思维，如果直流电流真的像以上所假设的那样是一个有着传播过程与传播时间的局域效应或物理量的话，那就直接意味着电路电压的叠加原理不再成立；又比如，直流电流的大小其实是与作为电路的纯粹局域特征的电阻材料ρ或横截面积A在电路内从一处到另一处的任何可能变化无关的；还比如，直流电压作为物质之间相互作用的直接方式，它应该更像其它所有的物质作用力一样具有非局域特征，而不是类似于具有有限传播速度且可以独立于发射端与接收端的电磁辐射；最后，如果直流电流的实质是静电作用力，而静电作用力又是一种非局域效应（注），那么直流电流不是按理也应该是一种非局域效应吗？等等。不过，有关细节我们就不准备在这里讨论了。

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