探寻同时性的奥秘：（5）原来“无穷”不是梦——无穷的相速与群速；理论与应用（下篇，第II部分）

例一、   静磁场内转动的感应线圈

图5k是静磁场内转动的感应线圈其内各处电荷的受力方向（图5k（a））以及线圈内电流产生的潜在物理机制（图5k（b）、（c）、（d））示意图。图5k（a）中，由导体制成的长方形封闭线圈ABCD在磁感应强度为B的均匀静磁场内沿着其中心线O₁O₂以角速度ω在转动，如所周知，线圈内会产生感应电动势与感应电流，其大小和方向由法拉第（Michael Faraday，1791-1867）电磁感应定律与楞次（Heinrich Lenz，1804-1865）定律分别决定。但是另一方面，我们也可以根据洛伦兹力定律直接确定线圈的每一段导体内电荷的受力方向，其结果如图5k（a）中导体线段旁边的箭头所示。

图5k：

对图5k的说明：在图5k（a）中，感应线圈刚好转动到其所在平面与磁感应强度B重合的那一刹那（此时线圈平面的法向正好与B垂直），此时线圈内各处的电荷的受力方向如图中诸箭头所示，它们均由洛伦兹力定律所决定，其细节见后；图5k（b）显示的是感应电流于线圈的各处同步产生的可能性，而图5k（c）显示的则是感应电流的产生在一处早于另一处的可能性，最后，图5k（d）显示的是线圈的部分导线段根本不产生感应电流的可能性。

若以AB=a，BC=b分别表示线圈的长与宽，以θ=ωt表示线圈所在平面的法向（注）与磁感应强度B的夹角，并假定所考察的正好是如图5k（a）所示的θ=π/2的那一刻。我们所关心的问题是：就如图5k（a）所示的物理场景，线圈ABCD内的感应电动势与感应电流究竟是于线圈内各处同步生起呢，即如图5k（b）所示的情况，还是它们的生起有一个先后顺序，即如图5k（c）所示的情况，抑或是线圈的某些部分如BC与DA部分根本没有电流生起，即如图5k（d）所示的情况？

有人可能感到纳闷儿：acarefreeman，你怎么会想到线圈的BC与DA部分根本没有电流流动的情况呢？难道闭路内的电流不是要有到处都有、要无处处皆无吗？是啊，说真心话，我也是这样的想的呀；但问题是，有一个物理定律告诉我们的可不是这样的哟，难道你不相信洛伦兹力定律的内容吗？该定律说，当带电量为q的物体在磁场B内以速度v运动时，它所受到的洛伦兹力F由

F=qv×B……（5a）

所给出，其中×表示向量乘法。注意公式（5a）中F的大小由F=qvBsin（θ）给出，其中θ是v与B之间的夹角，F的方向由右手法则给出，即伸出右手的拇指、食指以及中指使其两两相互垂直，然后以食指指向v的方向，同时使中指指向B的方向，则此时大拇指的指向即为洛伦兹力F的方向。

以图5k（a）所示的情况为例，由于此刻线圈的AB段内的所有电子其运动速度v都与纸面垂直且由里向外，所以此时电子所受的洛伦兹力F其大小由F=qvB给出，其方向沿着AB所在直线且由A指向B，据此可知，AB内的感应电场E的大小为E=F/q=vB（注），方向也由A指向B。这样，AB段内的感应电流自然是由A流向B；同理，CD段内的电流应该是由C流向D。关于以上结论，图5k（b）、5k（c）以及5k（d）所显示的都是如此，所以这里原本没有什么悬念。

但是，如果我们再分析一下线圈的BC段与DA段内的情况，结论便多少有点不同。以BC段为例，就图5k（a）所示的情况，易见BO₂部分内的电荷因为其运动方向都垂直纸面由里向外，所以这部分电荷所受洛伦兹力的方向与前述AB段内的电荷的受力方向都是一样的，即平行于纸面由右向左，但是由于这个受力方向是垂直于导线段BO₂本身所在的直线方向的，所以按理这段导线内不会产生感应电流。同理，O₂C段内的电荷所受的洛伦兹力也平行于纸面但由左向右，又因为该力的方向与导线段O₂C所在的方向垂直，所以按理也不该产生感应电流。

封闭的电路内其中的一部分有感应电流，而另一部分却根本没有电流，这看起来还真像是一件稀罕事，不是吗？至少，如果感应电流也像直流电流是一个整体与非局域效应的话，这样的事便似乎没有理由出现。莫非洛伦兹力定律错了？

那就不妨让我们对以上的电磁感应再做进一步的考察；不过，这一次我们集中来分析一下线圈ABCD内的感应电动势，而不是电流。如前所述，就如图5k（a）所示的那一刻，AB段内的感应电场的大小为E=vB，其方向由A指向B，其中v=rω是AB段旋转的线速度，由于旋转半径r=b/2，所以v=（b/2）ω=bω/2，因而E=vB=bBω/2。最后，根据电动势的计算公式（注）

ε=∫E•dl……（5b）

可得AB段内的感应电动势的大小为（注）ε₁=E|AB|=（bBω/2）（a）=(ab/2)Bω；同理，CD段内的感应电动势ε₂=(ab/2)Bω，即与AB段内的大小相同。此外，由于根据此前的分析，BC段与DA段内的感应电场E均垂直于导线所在的方向，从而其感应电动势均为0，于是感应线圈ABCD内的总的感应电动势（注）

ε=ε₁+ε₂=abBω……（5c）

但是另一方面，根据法拉第电磁感应定律，线圈ABCD内感应电动势ε的大小等于穿过该线圈的磁通量Φ_B的时间变化率的相反数，即

ε= -dΦ_B/dt……（6a）

其中

Φ_B=∫B•dS=∫B•ndS……（6b）

其中（6b）中的•表示两个向量的数量乘积。由于假定了在时刻t时线圈ABCD所在平面的法向n与磁感应强度B的夹角为θ=ωt，从而B•n=Bcosθ=Bcosωt，于是（6b）可以化简为

Φ_B=∫B•ndS=∫BcosωtdS=Bcosωt∫dS……（6c）

其中（6c）中的∫dS=S=ab代表线圈ABCD的面积，于是（6c）可以化简为

Φ_B=Bcosωt∫dS=abBcosωt……（6d）

再将（6d）代入（6a）的右端进行运算，得（注）

ε= -dΦ_B/dt=abBωsinωt=abBωsinθ……（6e）

最后，对于图5k（a）所示的那一刻，由于θ=ωt=π/2，从而sinθ=sinπ/2=1，于是（6e）化简为

ε=abBω……（6f）

Aha，公式（6f）表示的可是是与公式（5c）一样的结果哟！不过且慢，虽然两个公式所得到的总的感应电动势的大小确实是一样的，但是两种计算方法所遵循的物理原则与哲学思想可是有很大不同哦。为什么呢？这是因为：首先，公式（5c）是依据洛伦兹力定律而来的，而公式（6f）却是依据法拉第电磁感应定律而来的，所以说它们的物理原则不同；其次，当我们根据洛伦兹力定律来确定线圈内何处有电流以及其流向如何时，我们所获得的可是一个局域性质的结果哦，因为线圈内电荷的运动方向v以及当地的磁感应强度B方向都是逐点定义且从一点到另一点可以变化的；但是另一方面，当我们根据法拉第电磁感应定律（6a）、（6b）以及楞次定律来确定线圈内的电流大小与方向时，我们所获得却是一个非局域的物理效应，证据是，如前所述，感应线圈的磁通量及其时间变化率就是线圈的一个非局域特征，所以由它们所决定的感应电流理应也是一个非局域效应。所以，公式（5c）与（6f）所显示的洛伦兹与法拉第表面上的相安无事可是有欺骗性的呀；在内心的深处，相信他们可是水火不容的哟：-）。

感应线圈内的电流是一个非局域效应？acarefreeman的意思是说，只要感应线圈内一处有电流便处处有电流，或者反过来，只要一处没有电流便处处没有电流，是这样吗？是的，这正是我的意思。不过，问题来了：刚才我们根据洛伦兹力定律分析所得的结果可不是这样的啊，因为对于图5k（a）所示的情况，明明AB段与CD段都有感应电流，但是BC段与DA却根本没有！所以，如果要是acarefreeman判断正确的话，那洛伦兹就应该是说错了，或者宽容一点地说吧，那洛伦兹力定律虽然于局部成立但不一定仍然适用于感应线圈这个整体了呀。那我们究竟是相信法拉第呢，还是相信洛伦兹，亦或是相信acarefreeman对法拉第的全新诠释？

其实，我们此前的分析已经清楚地给出了问题的答案：洛伦兹力定律针对的是局域因素，诸如当地的磁感应强度以及当时、当处的电荷运动速度，它不涉及感应线圈的非局域特征，因而也无法揭示感应线圈内各处电流元所潜存的内在联系以及其整体性特征，而法拉第电磁感应定律却恰恰相反，因为它告诉我们，决定线圈内感应电流大小的是磁通量的变化率这一个非局域特征，所以感应电流理应也是一个非局域效应，即它将总是同步生起于线圈的各个部分。

有人可能还是对此心存疑虑，不过没关系，那就让我们再换个角度审视一下这个问题；参见图5l。

图5l：

对图5l的说明：在图5l中，感应线圈所在平面的法向与均匀静磁场的磁感应强度B的方向重合，线圈以匀速v向右运动，图中依据洛伦兹力定律标出了线圈的每个组成导线段内电荷的受力方向。可知AB段与CD段内电荷的受力方向与它们所在的直线垂直，而BC段与DA段内电荷受力方向与它们所在的直线平行。

这一次，在长方形线圈ABCD在均匀磁场B内向右运动的过程中，我们使其所在平面的法向总是与磁感应强度B的方向保持一致（即线圈所在平面与B垂直），根据洛伦兹力定律（5a）与电动势计算公式（5b）不难发现，此时感应线圈BC段内电荷的受力方向由B向C，而DA段内电荷的受力方向由A向D，所以如果感应电流是一个局域效应的话，那么BC段与DA段内都应该有电流。但另一方面，由于AB段与CD段内电荷的受力方向均与它们所在的线段的方向垂直，所以在同一前提下，这两段线圈内理应没有电流。但是，假如我们按照法拉第电磁感应定律来把有关计算重做一遍的话，我们就会发现，整个线圈ABCD内的感应电动势应该是零，所以线圈内根本不产生感应电流。当然，所有已知的实验结果都是支持法拉第的。所以，这个问题到此应该可以结束了：电磁感应电流确确实实是一个非局域效应，至少在理论上，它是于线圈内所有各处同步生起的，因而感应电流的相速自然应该是处处无穷。

好了，以上的分析清楚地表明，在法拉第电磁感应定律与洛伦兹力定律之间的确存在某种形式或某种程度的矛盾，毕竟，前者是有关局域属性与局域效应的物理规律，而后者则是有关非局域属性与非局域效应的物理规律。那么它们之间的这种矛盾将如何得以解决呢？如果acarefreeman的观察是正确的，那么让个人服从集体、让局部服从全局就是大自然难以抗拒的规则。这是什么意思呢？这就是说，虽然根据两个物理规律，总的感应电动势都是一样的，但如果法拉第定律占据了优先地位，那么这个总的感应电动势一定会在感应电路内进行再分配，所以单单根据局域属性得出结论的洛伦兹力定律便不再适用。

有人可能说了：图5l所示的有关实验之所以在整个回路中没有探测到感应电流，难道不会是因为BC段内由B向C的感应电动势与DA段内由A向D的感应电动势彼此抵消了呢？理论上，是存在着这些可能；但事实上，这样的假设根本无法成立，因为即使在很宽松的条件下（注），BC段内的感应电流与DA段的感应电流（如果都有的话）要实现汇合所需的时间也动辄以小时来计算（注），而有关实验通常远远在此之前早已结束。还有人可能说了：如果前述感应电流本身的流速太小而无法直接抵消，那么假定电流的相速是光速而不是无穷，不是也存在抵消的可能吗？答曰：除非BC段内的感应电动势与DA段内的感应电动势像平衡力同时作用于刚体的两端一样可以完全抵消，否则没有别的已知的物理机制可能使二者抵消，至少，如果假定电动势像波动一样有一个传播问题，那么由于图5l中的对称性，来自于BC段与DA段这两处的波动便不可能瞬间抵消，更不可能完全抵消。所以，我们的结论是：实际情况只能是根据法拉第电磁感应定律得出感应电流在线圈内根本不生起的结论，而不是根据洛伦兹力定律盲目推断出的感应电流在线圈内局部生起但然后抵消。

当然，感应电流是一个非局域效应的结论还可以通过别的方式来独立论证，不信，就让我们来考察下一个例子。

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