探尋同時性的奧秘：（5）原來“無窮”不是夢——無窮的相速與群速；理論與應用（下篇，第II部分）

例一、   靜磁場內轉動的感應線圈

圖5k是靜磁場內轉動的感應線圈其內各處電荷的受力方向（圖5k（a））以及線圈內電流產生的潛在物理機制（圖5k（b）、（c）、（d））示意圖。圖5k（a）中，由導體製成的長方形封閉線圈ABCD在磁感應強度為B的均勻靜磁場內沿着其中心線O₁O₂以角速度ω在轉動，如所周知，線圈內會產生感應電動勢與感應電流，其大小和方向由法拉第（Michael Faraday，1791-1867）電磁感應定律與楞次（Heinrich Lenz，1804-1865）定律分別決定。但是另一方面，我們也可以根據洛倫茲力定律直接確定線圈的每一段導體內電荷的受力方向，其結果如圖5k（a）中導體線段旁邊的箭頭所示。

圖5k：

對圖5k的說明：在圖5k（a）中，感應線圈剛好轉動到其所在平面與磁感應強度B重合的那一剎那（此時線圈平面的法向正好與B垂直），此時線圈內各處的電荷的受力方向如圖中諸箭頭所示，它們均由洛倫茲力定律所決定，其細節見後；圖5k（b）顯示的是感應電流於線圈的各處同步產生的可能性，而圖5k（c）顯示的則是感應電流的產生在一處早於另一處的可能性，最後，圖5k（d）顯示的是線圈的部分導線段根本不產生感應電流的可能性。

若以AB=a，BC=b分別表示線圈的長與寬，以θ=ωt表示線圈所在平面的法向（注）與磁感應強度B的夾角，並假定所考察的正好是如圖5k（a）所示的θ=π/2的那一刻。我們所關心的問題是：就如圖5k（a）所示的物理場景，線圈ABCD內的感應電動勢與感應電流究竟是於線圈內各處同步生起呢，即如圖5k（b）所示的情況，還是它們的生起有一個先後順序，即如圖5k（c）所示的情況，抑或是線圈的某些部分如BC與DA部分根本沒有電流生起，即如圖5k（d）所示的情況？

有人可能感到納悶兒：acarefreeman，你怎麼會想到線圈的BC與DA部分根本沒有電流流動的情況呢？難道閉路內的電流不是要有到處都有、要無處處皆無嗎？是啊，說真心話，我也是這樣的想的呀；但問題是，有一個物理定律告訴我們的可不是這樣的喲，難道你不相信洛倫茲力定律的內容嗎？該定律說，當帶電量為q的物體在磁場B內以速度v運動時，它所受到的洛倫茲力F由

F=qv×B……（5a）

所給出，其中×表示向量乘法。注意公式（5a）中F的大小由F=qvBsin（θ）給出，其中θ是v與B之間的夾角，F的方向由右手法則給出，即伸出右手的拇指、食指以及中指使其兩兩相互垂直，然後以食指指向v的方向，同時使中指指向B的方向，則此時大拇指的指向即為洛倫茲力F的方向。

以圖5k（a）所示的情況為例，由於此刻線圈的AB段內的所有電子其運動速度v都與紙面垂直且由里向外，所以此時電子所受的洛倫茲力F其大小由F=qvB給出，其方向沿着AB所在直線且由A指向B，據此可知，AB內的感應電場E的大小為E=F/q=vB（注），方向也由A指向B。這樣，AB段內的感應電流自然是由A流向B；同理，CD段內的電流應該是由C流向D。關於以上結論，圖5k（b）、5k（c）以及5k（d）所顯示的都是如此，所以這裡原本沒有什麼懸念。

但是，如果我們再分析一下線圈的BC段與DA段內的情況，結論便多少有點不同。以BC段為例，就圖5k（a）所示的情況，易見BO₂部分內的電荷因為其運動方向都垂直紙面由里向外，所以這部分電荷所受洛倫茲力的方向與前述AB段內的電荷的受力方向都是一樣的，即平行於紙面由右向左，但是由於這個受力方向是垂直於導線段BO₂本身所在的直線方向的，所以按理這段導線內不會產生感應電流。同理，O₂C段內的電荷所受的洛倫茲力也平行於紙面但由左向右，又因為該力的方向與導線段O₂C所在的方向垂直，所以按理也不該產生感應電流。

封閉的電路內其中的一部分有感應電流，而另一部分卻根本沒有電流，這看起來還真像是一件稀罕事，不是嗎？至少，如果感應電流也像直流電流是一個整體與非局域效應的話，這樣的事便似乎沒有理由出現。莫非洛倫茲力定律錯了？

那就不妨讓我們對以上的電磁感應再做進一步的考察；不過，這一次我們集中來分析一下線圈ABCD內的感應電動勢，而不是電流。如前所述，就如圖5k（a）所示的那一刻，AB段內的感應電場的大小為E=vB，其方向由A指向B，其中v=rω是AB段旋轉的線速度，由於旋轉半徑r=b/2，所以v=（b/2）ω=bω/2，因而E=vB=bBω/2。最後，根據電動勢的計算公式（注）

ε=∫E•dl……（5b）

可得AB段內的感應電動勢的大小為（注）ε₁=E|AB|=（bBω/2）（a）=(ab/2)Bω；同理，CD段內的感應電動勢ε₂=(ab/2)Bω，即與AB段內的大小相同。此外，由於根據此前的分析，BC段與DA段內的感應電場E均垂直於導線所在的方向，從而其感應電動勢均為0，於是感應線圈ABCD內的總的感應電動勢（注）

ε=ε₁+ε₂=abBω……（5c）

但是另一方面，根據法拉第電磁感應定律，線圈ABCD內感應電動勢ε的大小等於穿過該線圈的磁通量Φ_B的時間變化率的相反數，即

ε= -dΦ_B/dt……（6a）

其中

Φ_B=∫B•dS=∫B•ndS……（6b）

其中（6b）中的•表示兩個向量的數量乘積。由於假定了在時刻t時線圈ABCD所在平面的法向n與磁感應強度B的夾角為θ=ωt，從而B•n=Bcosθ=Bcosωt，於是（6b）可以化簡為

Φ_B=∫B•ndS=∫BcosωtdS=Bcosωt∫dS……（6c）

其中（6c）中的∫dS=S=ab代表線圈ABCD的面積，於是（6c）可以化簡為

Φ_B=Bcosωt∫dS=abBcosωt……（6d）

再將（6d）代入（6a）的右端進行運算，得（注）

ε= -dΦ_B/dt=abBωsinωt=abBωsinθ……（6e）

最後，對於圖5k（a）所示的那一刻，由於θ=ωt=π/2，從而sinθ=sinπ/2=1，於是（6e）化簡為

ε=abBω……（6f）

Aha，公式（6f）表示的可是是與公式（5c）一樣的結果喲！不過且慢，雖然兩個公式所得到的總的感應電動勢的大小確實是一樣的，但是兩種計算方法所遵循的物理原則與哲學思想可是有很大不同哦。為什麼呢？這是因為：首先，公式（5c）是依據洛倫茲力定律而來的，而公式（6f）卻是依據法拉第電磁感應定律而來的，所以說它們的物理原則不同；其次，當我們根據洛倫茲力定律來確定線圈內何處有電流以及其流向如何時，我們所獲得的可是一個局域性質的結果哦，因為線圈內電荷的運動方向v以及當地的磁感應強度B方向都是逐點定義且從一點到另一點可以變化的；但是另一方面，當我們根據法拉第電磁感應定律（6a）、（6b）以及楞次定律來確定線圈內的電流大小與方向時，我們所獲得卻是一個非局域的物理效應，證據是，如前所述，感應線圈的磁通量及其時間變化率就是線圈的一個非局域特徵，所以由它們所決定的感應電流理應也是一個非局域效應。所以，公式（5c）與（6f）所顯示的洛倫茲與法拉第表面上的相安無事可是有欺騙性的呀；在內心的深處，相信他們可是水火不容的喲：-）。

感應線圈內的電流是一個非局域效應？acarefreeman的意思是說，只要感應線圈內一處有電流便處處有電流，或者反過來，只要一處沒有電流便處處沒有電流，是這樣嗎？是的，這正是我的意思。不過，問題來了：剛才我們根據洛倫茲力定律分析所得的結果可不是這樣的啊，因為對於圖5k（a）所示的情況，明明AB段與CD段都有感應電流，但是BC段與DA卻根本沒有！所以，如果要是acarefreeman判斷正確的話，那洛倫茲就應該是說錯了，或者寬容一點地說吧，那洛倫茲力定律雖然於局部成立但不一定仍然適用於感應線圈這個整體了呀。那我們究竟是相信法拉第呢，還是相信洛倫茲，亦或是相信acarefreeman對法拉第的全新詮釋？

其實，我們此前的分析已經清楚地給出了問題的答案：洛倫茲力定律針對的是局域因素，諸如當地的磁感應強度以及當時、當處的電荷運動速度，它不涉及感應線圈的非局域特徵，因而也無法揭示感應線圈內各處電流元所潛存的內在聯繫以及其整體性特徵，而法拉第電磁感應定律卻恰恰相反，因為它告訴我們，決定線圈內感應電流大小的是磁通量的變化率這一個非局域特徵，所以感應電流理應也是一個非局域效應，即它將總是同步生起於線圈的各個部分。

有人可能還是對此心存疑慮，不過沒關係，那就讓我們再換個角度審視一下這個問題；參見圖5l。

圖5l：

對圖5l的說明：在圖5l中，感應線圈所在平面的法向與均勻靜磁場的磁感應強度B的方向重合，線圈以勻速v向右運動，圖中依據洛倫茲力定律標出了線圈的每個組成導線段內電荷的受力方向。可知AB段與CD段內電荷的受力方向與它們所在的直線垂直，而BC段與DA段內電荷受力方向與它們所在的直線平行。

這一次，在長方形線圈ABCD在均勻磁場B內向右運動的過程中，我們使其所在平面的法向總是與磁感應強度B的方向保持一致（即線圈所在平面與B垂直），根據洛倫茲力定律（5a）與電動勢計算公式（5b）不難發現，此時感應線圈BC段內電荷的受力方向由B向C，而DA段內電荷的受力方向由A向D，所以如果感應電流是一個局域效應的話，那麼BC段與DA段內都應該有電流。但另一方面，由於AB段與CD段內電荷的受力方向均與它們所在的線段的方向垂直，所以在同一前提下，這兩段線圈內理應沒有電流。但是，假如我們按照法拉第電磁感應定律來把有關計算重做一遍的話，我們就會發現，整個線圈ABCD內的感應電動勢應該是零，所以線圈內根本不產生感應電流。當然，所有已知的實驗結果都是支持法拉第的。所以，這個問題到此應該可以結束了：電磁感應電流確確實實是一個非局域效應，至少在理論上，它是於線圈內所有各處同步生起的，因而感應電流的相速自然應該是處處無窮。

好了，以上的分析清楚地表明，在法拉第電磁感應定律與洛倫茲力定律之間的確存在某種形式或某種程度的矛盾，畢竟，前者是有關局域屬性與局域效應的物理規律，而後者則是有關非局域屬性與非局域效應的物理規律。那麼它們之間的這種矛盾將如何得以解決呢？如果acarefreeman的觀察是正確的，那麼讓個人服從集體、讓局部服從全局就是大自然難以抗拒的規則。這是什麼意思呢？這就是說，雖然根據兩個物理規律，總的感應電動勢都是一樣的，但如果法拉第定律占據了優先地位，那麼這個總的感應電動勢一定會在感應電路內進行再分配，所以單單根據局域屬性得出結論的洛倫茲力定律便不再適用。

有人可能說了：圖5l所示的有關實驗之所以在整個迴路中沒有探測到感應電流，難道不會是因為BC段內由B向C的感應電動勢與DA段內由A向D的感應電動勢彼此抵消了呢？理論上，是存在着這些可能；但事實上，這樣的假設根本無法成立，因為即使在很寬鬆的條件下（注），BC段內的感應電流與DA段的感應電流（如果都有的話）要實現匯合所需的時間也動輒以小時來計算（注），而有關實驗通常遠遠在此之前早已結束。還有人可能說了：如果前述感應電流本身的流速太小而無法直接抵消，那麼假定電流的相速是光速而不是無窮，不是也存在抵消的可能嗎？答曰：除非BC段內的感應電動勢與DA段內的感應電動勢像平衡力同時作用於剛體的兩端一樣可以完全抵消，否則沒有別的已知的物理機制可能使二者抵消，至少，如果假定電動勢像波動一樣有一個傳播問題，那麼由於圖5l中的對稱性，來自於BC段與DA段這兩處的波動便不可能瞬間抵消，更不可能完全抵消。所以，我們的結論是：實際情況只能是根據法拉第電磁感應定律得出感應電流在線圈內根本不生起的結論，而不是根據洛倫茲力定律盲目推斷出的感應電流在線圈內局部生起但然後抵消。

當然，感應電流是一個非局域效應的結論還可以通過別的方式來獨立論證，不信，就讓我們來考察下一個例子。

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