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探寻同时性的奥秘:(1B)技术细节与(1C)思考与探索
送交者:  2015年12月04日08:37:20 于 [世界军事论坛] 发送悄悄话

狭义相对论科普之四;探寻同时性的奥秘:(1B)技术细节与(1C)思考与探索

 

1B)技术细节

说明

  1. 地球上任一点的纬度定义为该点与地心的连线同地球赤道所在平面的夹角,赤道以北为北纬,以南则为南纬;而地球上任一点的经度则定义为该点与南北两极所决定的(半)平面同英国格林威治天文台所在的零度经线(本初子午线)所在(半)平面所成的角度,格林威治以东为东经,以西则为西经。以上是理想规定,本文不考虑在地球上个别地方它与实际情况的可能偏离。

  2. 除非单独说明,地球的形状假定为在赤道上突出而南北极方向扁平的旋转椭球体,本文不考虑该理想模型与实际情况的偏差。

     

    1a1b(关于崇安与汴京的经纬度来源):汴京(河南开封)与崇安(福建崇安)的经纬度均可以从这个网站查询:http://www.ximizi.com/jingweidu.php;查询时先在左栏选择该城市所在的省份,然后再在右栏选择该城市的名字即可。本文给出的经纬度中的EEast(东经),NNorth(北纬),类似的还有WWest,西经),SSouth,南纬)。

     

    2a2b(关于柳永与虫娘同时出室与同时观月这二事的异同):柳永与虫娘,一在崇安一在汴京,他们同时走出室外与同时看到月亮其实是不同的两件事,这是因为,如果在他们同时走出室外的那一刻,比如说月光正被从太空划过的流星遮蔽,那么由于在流星划过之后,月光传播到崇安时所走的距离跟它传播到汴京时所走的距离可能并不相同,从而二人看到月亮的时间也可能是有前后差别的。但是如果我们假定两地的天空以及延伸至月球的太空都保持晴朗(无云彩等遮蔽)而又无碍(无流星等遮蔽)至少 (384400 km)/(299792.458 km/s)1.3 s的时间以上,则这段时间连续的月光流保证了在二人出门的时间也是他们看到月光的时间,所以在这一情况下二人是否同时出室与是否同时看到月亮其结论是一致的,由于以上所用的是一个非常宽松的假设,所以如无特别说明,我们将默认它成立。

     

    3a3b(关于崇安与汴京的时差计算以及相关问题):由于全球划分为360度经度,而地球自转一圈的用时为24小时=1440分钟,于是它的转速为360/1440=0.25 (/分钟),而崇安与汴京的经度之差为 (118.02-114.35)=3.67 (),从而两地的时差为3.67/0.2514.7 (分钟)。我们不妨把地面上这种以经度差别为计算基础的时间简称为地球时间。这样地球上具有同一经度的各处即同一条经线上其地球时间是完全相同的;而另一方面,本篇文章的主旨便是建立绝对的同时性,既然如此,以绝对的同时性为基础的“时间”与“同时”也理应是有意义的。文中有待注解的“其实并非真的会同时发生”便包含以上双重含义。

     

    4(关于知悉时差是否需要现代科学知识的问题):其实地球表面东西方向上有时差这件事古人已经知道,如佛教《起世因经》中说,“复次诸比丘。若阎浮提洲日中。于弗婆提洲则日没。其瞿陀尼洲日出。郁多罗究留洲正夜半。”但在科学知识尚未普及的宋代,普通人在日常生活中未必意识到这一点,尤其是当东西两地时差不明显时。此外,《起世因经》还从地球这个参照系的角度解释了冬夏形成以及昼夜长短的道理,比如关于昼夜长短一事,有如此说法:

     

    “复次,于中有何因缘,其冬天时夜长昼短?诸比丘,其日宫殿,过六月已,次向南行,日于一日,行六俱卢奢,亦不差移。但于彼时,其日在于阎浮提洲最南边际,地形狭小,日过速疾。诸比丘,此因缘故,其冬分中,昼短夜长。复次,于中有何因缘,春夏昼长其夜短促?诸比丘,日天宫殿,过六月已,向北而行,一日中行六俱卢奢,亦不差移,乖异常道。但于彼时,正在阎浮处内而行,地宽行久,所以昼长。诸比丘,此因缘故,春夏昼长,其夜即短。”

     

    更多细节请参见“思考与探索 问题1”。

     

    5(关于“坐地日行八万里”的科学依据):若以地球赤道的半径为r=6378.1370 km,其自转的角速度为ω=7.2921150*10-5 rad/s,则地球赤道上的自转的线速度v=rω=0.465 km/s,从而赤道上的人类一天随地球自转走过的距离大约为 (24*60*60 s)*0.465 km/s=40176 km

     

    6(关于角速度与线速度概念的澄清):当地球自转时,赤道上任一点与地心的连线在单位时间内转过的角度称为该点的角速度,而该点在单位时间内走过的距离则称为其线速度,前者如“注5”中的ω,后者如那里的v,而ω与v之间又通过自转半径r相互关联,即v=rω(参见“思考与探索 问题2”)。

     

    7(关于地球表面上任一纬度处自转线速度的计算):为了计算地面上任一纬度φ处的自转线速度,我们必须首先知道那里的自转半径r,如果地球是一个半径为a的完美的球形,那么不难算出r=a*cosφ;参见“思考与探索 问题3”。但是由于自转等因素的影响,地球其实是一个于赤道上突出但是两极稍扁类似于旋转椭球体的东西,若以a表示它的赤道半径,若以地心为原点O,以赤道所在的平面为XOY平面,以由原点指向北极的射线为Z-轴正向,并以a=6378.1370 km表示赤道半径(即地心到赤道上一点的距离),b=6356.7523 km表示极半径(即地心到北极或南极的距离),则地表可以用以下旋转椭球面的方程近似表示:

    (x2+y2)/a2+z2/b2=1……(1

    其中(xyz)为地球表面上任一点的空间坐标。

     

    根据方程(1)可以算出地球上纬度为φ处的自转半径为(参见“思考与探索 问题3”)

    r=[(a2b2cos2φ)/( a2sin2φ+ b2cos2φ)]……(2

    于是该点对应的自转线速度为

    v=rω=[(a2b2cos2φ)/( a2sin2φ+ b2cos2φ)]ω……(3

    其中ω为地球自转的角速度。将有关数值参数以及崇安与汴京的纬度代入公式(3)即可求得两地自转的线速度v1v2(参见“思考与探索 问题4”)。

     

    8(关于地球上同一条经线上除南北极外的各点对应的当地自转线速度平行的问题):这是由于当物体沿着通过自身的一条轴线转动时,物体表面上任一点到自转轴的垂线在转动的过程中形成一个与自转轴相垂直的平面,由于该点的(线)速度向量位于该平面内,所以自转轴垂直于该速度向量;而另一方面,在围绕着自转轴转动的过程中,该点到自转轴的垂线即是圆周运动的半径,垂线的垂足就是圆心,所以该点的速度向量其实又垂直于以上所说的从该点到自转轴的垂线,这样,该点的速度向量便同时垂直于该点所在的经线所处(半)平面内的两条相交直线,于是该向量垂直于该经线所在(半)平面。由于该经线上除南北极以外的所有各点的自转线速度向量都与该经线所在的(半)平面垂直,所以所有这些速度向量也都彼此平行。

    说明:由于南北极点均位于地球自转轴上,所以这两处无法定义线速度向量。

     

    9(关于狭义相对论所说不同观察者就异地两个事件是否同时发生可能得出不同结论的问题):具有不同运动速度或状态的观察者可能会对异地发生的两个事件的同时性问题发生意见分歧,这个问题其实是下一节文章内容的核心主题,但我们在这里可以先简单做个说明:1、狭义相对论所说的“同时”其实与人类日常生活中所说的“同时”有着不同的含义,这个同时也与牛顿力学中所说的“同时”有着不同的定义或含义;2、狭义相对论的“同时”的定义默认了多个经不起推敲的假设或前提;3、狭义相对论的“同时”概念将导致理论上的不自洽与实践上的不可用。以上诸命题的详细论证请参阅本篇文章的后续各节内容。

     

    10(关于人类传统观念中的“同时”的实现技巧问题):在本节中,我们介绍了柳永与虫娘意欲“同时”出门、“同时”观月(赏月)以及“同时”饮酒的一些理论或现实困难,但其实这并非事情的全部,事实上,由于地球在自转的同时不仅还在做围绕着太阳的公转运动,而且也在围绕着地球-月球这一系统的质心转动,而后两种运动显然会直接影响到崇安与汴京接收到来自于月球的光信号的传播速度大小以及时间先后问题。这里所涉及的另外一个重要问题便是月球与地球之间光信号的传播机制问题,即它究竟是相对于哪个(拟)惯性系以常数速度c传播的,如是相对于月心惯性系或地心惯性系,还是相对于地球-月球这一系统的质心惯性系,抑或是相对于太阳系质心惯性系以常数速度传播,等。一个更加细微但其实也不可忽视的问题却是,“观月”这一件事其实涉及了至少三个“同时性”问题:1、二人“观”的动作是否为“同时”的问题;2、月光进入二人眼睛是否为“同时”的问题;以及3、二人观察到的“月光”是否从月球“同时”发出的问题。

     

    这样,至少在不做其它任何假设的前提下,“观月”这件事的同时性其实比我们此前想象的还要复杂,但由于更多、更复杂的细节无助于我们把握问题的实质与根本,所以我们这里就先按照简化的模型来讨论,只有在必要时才引入更复杂的机制或细节。

     

    1C)思考与探索

    问题1(请参阅“注4”):

  1. 请利用以下几个简单事实来定性解释“冬至昼短夜长,夏至昼长夜短”的道理:A、地球一年四季都处在一个近似于圆的椭圆轨道上围绕着太阳公转,太阳位于这椭圆的一个焦点上;B、地球在公转的同时又在围绕着通过地心与南北极的自转轴做自转运动;C、地球在公转与自转的过程中,其自转轴总是保持大致前后平行,且该平行方向与地球的公转轨道平面总是成大约23.5度的夹角。

  2. 你在(a)中的解释与《起世因经》中给出的解释有何异同?

  3. 假定地球的公转轨道是一个半径为R=1.496*108 km的正圆,地球自身的形状是一个半径为r=6371 km的完美球体,并假定地球自转与公转时其自转轴总是保持前后平行且与公转轨道平面成23.5度的夹角,试根据以上信息定量计算夏至这一天北纬23.5度处昼与夜各自的长短,以日出与日落为划分昼与夜的分界线。

     

    问题2(请参阅“注6):

  1. 证明当一个质点做半径为r、角速度为ω的圆周运动时,其线速度v由公式v=rω给出。

  2. 证明(a)中的质点其线速度的方向总是与从圆心到该质点的连线垂直。

  3. 证明(a)中的质点是有加速度的,其方向指向圆心,大小为a==rω2=v2/r

     

    问题3(请参阅“注7”):

  1. 试根据方程(1)证明,地球上纬度为φ处的自转半径为

    r=[(a2b2cos2φ)/( a2sin2φ+ b2cos2φ)]……(2

  2. 假定地球是一个完美的球形,证明公式(2)可以化简为r=a*cosφ。

     

    问题4(请参阅“注7”):

    试根据“注7”中的公式(2)、(3)核实,正文中给出的崇安与汴京两地自转的线速度是正确的,即v1=411 m/sv2=382 m/s

     

    问题5(请参阅“问题1c)”与“注7”):

  1. 试确定从夏至那天日出开始之后的24小时内,北半球什么纬度以上无法看到黑夜。

  2. 请问北纬23.5度在夏至这天是不是拥有最长的白天?

  3. 如果问题(b)的答案为“是”,请问为何夏至不是北纬23.5处最热的一天?

     

    问题6(有关中国古代故事《两小儿辩日》中的科学知识与疑问):

    孔子东游,见两小儿辩斗,问其故。一儿曰:“我以日始出时去人近,而日中时远也。”一儿以日初出远,而日中时近也。一儿曰:“日初出大如车盖,及日中,则如盘盂,此不为远者小而近者大乎?”一儿曰:“日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者热而远者凉乎?”孔子不能决也。两小儿笑曰:“孰为汝多知乎?”

  1. 请问以上故事可能涉及了哪些基本科学原理?请列出其中的至少3项。

  2. 请问光线折射原理能否解释“日初出大如车盖,及日中,则如盘盂”?如果能,请详细论证;如果不能,请问别的什么科学原理最能解释以上现象。

  3. 请问背景衬托与折射效应哪个更能解释(b)中的道理?

  1. 请问光线直射/斜射原理能否解释“日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤”?如果能,请详细论证。

  2. 撇开两个小孩子的推理依据,你能否明确回答到底是早上的太阳离我们近还是中午的太阳离我们近的问题?你的依据是什么?提示:需同时考虑地球的自转与公转以及地球公转轨道的椭圆形状;参考信息:地球在远日点与近日点与太阳的距离分别为1.521*108 km1.471*108 km,地球的赤道半径为a=6378.1370 km。为简化问题,假定两个小孩子均居住于赤道上,日出以早上6点钟为准,日中以中午12点钟为准。

     

    问题7(请参阅“注8”):请注意,“注8”中的解释是针对地球等球体或旋转椭球体围绕自身的旋转轴而转动的情况而言的;试证明:类似的结论对任何形状的物体围绕着任一条固定旋转轴做刚体旋转的情况都适用——不管这轴是位于物体之内还是之外,也不管这物体内部有无对称轴或对称中心以及所说的旋转轴是否通过这对称轴或对称中心。

     

    下一节2、狭义相对论为何否认绝对的同时性?

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  请回答如下思想实验 - sjtu 12/04/15 (584)
    这个视频拍的通俗易懂。 - 不恭 12/05/15 (448)
      Tait  /无内容 - sjtu 12/05/15 (392)
    twin paradox, not Fermi  /无内容 - sjtu 12/04/15 (437)
      请你先说说这个twin paradox是怎么来的,好吗?这 - acarefreeman 12/04/15 (443)
        这样吧 - sjtu 12/04/15 (471)
          那请问:加速度属于狭义相对论的研究范畴吗?  /无内容 - acarefreeman 12/04/15 (427)
            talking about GR, but SR is - sjtu 12/05/15 (467)
              好了,我们可以暂不考虑重力的影响,所以不妨让我们从这里开始: - acarefreeman 12/05/15 (472)
                say, all using A as reference - sjtu 12/05/15 (438)
                  那现在请问,A无速度变化又是相对于谁的? - acarefreeman 12/05/15 (436)
  强烈建议acarefreeman兄创立世界相对论坛并任版主  /无内容 - 慢两拍 12/04/15 (497)
    他是反相对论民间人士,LOL  /无内容 - sjtu 12/04/15 (387)
    那可不行,有了hmy版主替acarefreeman几乎打点了 - acarefreeman 12/04/15 (449)
    "技"本意是"动手",所以"技术细节"用在此不妥  /无内容 - 古宇庙 12/04/15 (408)
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