文：華山

 從那個很二的老畢說起    

多年前，有一個很二的叫華山的人，發現了音樂的音階其實並非基於12平均律，而是另外一種規律。他覺得這簡直是革命性的發現。為了確保在告訴別人之前確認是前人沒有做過的工作，他去查了資料。結果很受打擊，因為在2600年以前，已經有一個叫“老畢”的人做了這個工作。2600年啊！都2600年過去了，你還重新發現，這不是重新發明輪子嗎？

是的，是2600年以前的一個叫“老畢”的人發現並論證的。最近“老畢”這個名字很火，但是此“老畢”不是彼“老畢”，而是那個如雷貫耳的畢達哥拉斯！如果你現在還不知道這個畢達哥拉斯是幹什麼的，請立即停止閱讀，回去重上初中。

  此“老畢”不是彼“老畢” 

說到這老畢，也就是畢達哥拉斯，我氣就不打一處來。這小子先是毀了“勾股定理”的華夏發明權，現在又毀了林炎平的音階發現權。

說到“勾股定理”，中國人都知道。興許一些人也知道那其實是畢達哥拉斯首先證明的，因此實際上是“畢達哥拉斯定理”，因為這個老畢先給出了普遍的證明：

a²+b²⁼c²

亦即：兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。而我們華夏的祖先只是發現了“勾三股四弦五”，亦即：如果兩個直角邊分別是3和4，那麼斜邊就是5。但這只是直角三角形的一個特例，不是普適的充分必要條件。知道“普適”嗎？知道“充分必要”嗎？都是老畢和這些很二的古希臘人的理念。

老畢肯定是一個有錢的瘋子：據說他為了這定理的證明花費了不少心血和時間，完了還宰了100頭牛慶祝。你說你證明這幹嘛呀？“勾三股四弦五”不就夠了嗎？再說埃及和兩河流域的人更早就已經知道幾十種構成直角三角形的邊長關係，你費這麼多的神整那個普遍的證明幹嘛？還宰牛慶祝？不僅瘋了，而且不輕。你不懂“民以食為天”嗎？整這定理是能吃還是能喝？

老畢是瘋子另一個證據是，他居然認為這個世界是由數組成的。他自己瘋了還不夠，還成立了一個學派，網羅了一群門徒，讓大家和他一起發瘋。因此他的學派里的弟子也都是瘋子。你造嗎？老畢有個弟子，覺得當時有關數的理論還不夠瘋，居然心懷不滿。當時認為：所有的正數都可以表達為正整數組成的分數。也就是說，任何小數都可以表達為B/A(B比A)。這看起來很合理啊。比如：

1.5 = 3/ 2

1.33333… = 4 / 3

但這位弟子不這麼認為，他有一天終於找到了別出心裁惡作劇的辦法，證明了“根號二”不能表達為B/A。你說你和根號二過不去幹嘛，不就是證明你比根號二還要二嗎？啊？這二哥是這樣證明的：

他用的是反證法，反正這個“反證法”也是這些瘋子們發明的，這群瘋子我們權且叫他們“希臘瘋子”，因為那塊地方那個時代盛產瘋子，而別的地方找這樣的瘋子極其困難。

假設根號二可以表達為B/A，其中B和A都是正整數而且沒有公約數。（假設很邏輯，他們那種瘋子的特點就是很邏輯嚴謹想象力豐富。）亦即：

√2 = B/A

那麼

B²=2A²

你看見了嗎？這公式里一共就6個符號，其中就有三個2，這就足夠證明老畢和老畢學派有多麼“二”了。好了，這小子繼續：

因此，B一定是偶數（B的平方是偶數，那麼B當然是偶數），於是可以將B表示為“2b”（b是正整數），你看見了嗎？2b！又是一個二，而且是“二b”。無疑“2b”是那個時候開始的。我們繼續，上式就變為：

4b²=2A²

亦即

A²=2b²

因此A也必定是偶數。由於A和B都是偶數，那麼它們就有了公約數，於是和我們一開始的假設不符。因此，√2不可能表達為B/A。

結論：根號二不可能是有限循環小數。也就是說根號二是無限的不循環的小數。尼瑪！

於是，“無理數”的概念誕生了！

你說這多二啊！簡直令人痛心疾首啊！好好的世界就讓老畢和他的門徒給毀了。本來好好的只有有理數的世界，從此沒了。無理數啊！就這個名字就該多讓人痛恨啊？老畢不是瘋子是神馬？畢達哥拉斯學派不是瘋子是神馬？那群希臘人不是瘋子是神馬？

    那群“希臘瘋子”    

連老畢的另外一些徒弟都看不下去了，他們把這個發現無理數的小子扔進了愛琴海里，喝飽了水才撈上來，不知算是懲罰還是獎勵，反正總歸很二就是了。

但是世界上可能只記得瘋子的事情，弄得2600年後的今天我們每人都學過這個證明，不過我們沒有他那麼二得不成樣子，基本上學了也就忘記了。我們又回歸正常了，又“民以食為天”了。記得以上證明的童鞋們請舉手！沒有？基本沒有？這就對了。回去補習吧！

自從知道“畢達哥拉斯”定理後，我就恨上了老畢和古希臘。你整這個沒用的幹啥？你要是不整，700年後的東漢趙爽的證明不就拔了頭籌嗎？那樣，“勾股定理”不就會是華夏的了嗎？啊！

想不到更加痛恨的是後來。我以為發現了音樂音階的秘密，結果一查，這老畢早就幹過了，你說你2600年前整這事情幹嘛？你說我現在整這事情是吃飽了撐的，還算有理由。你們那個時候吃穿都不富裕，居然不“以食為天”，卻去整這些不能吃不能喝的。瘋子，一群瘋子！一群深井冰啊！

    老畢的音階理論    

罵完了老畢，總也得描寫一下當時的老畢都是如何發現音階的秘密的。也順便吹一吹林炎平是如何重新發現老畢早就發現的音階構成的秘密的。

童鞋們，我們知道並不是所有頻率的音都可以組成樂音。那麼到底什麼頻率的音可以組成樂音呢？老畢是這樣認為的：

如果音符1（do）的頻率是f，那麼上行1/2，也就是f乘以（1+1/2），就是另一個樂音，那就是5（so）；（看見沒有，又是2。如果你不足夠二，到此為止，回去洗洗睡吧，不要再讀下去了。）然後你再上行1/2，那就是2（re）；繼續，就是6（la）；再繼續，就是3（me）；然後是7（si）。再繼續，就是#4了。

當然也可以下行，1（do）的頻率除以（1+1/2），就是4（fa）；繼續，就是降7（si）；再繼續就是降3（me）。

我們就暫時到這裡，因為再繼續，很多人就要瘋掉了成為“深井冰”了。“深井冰”的意思就是“不斷深入進行，然後越來越冰涼了”。就是這個意思。

老畢說，所有的樂音都是這樣形成的。我們看看上面，實際上已經形成了所有大調音階，1,2,3,4,5,6,7，甚至包括#4，b7和b3。

老畢說，為什麼會是這樣呢？因為1/2的音程是完全協和音，這樣的音當然好聽，因為協和或者叫和諧麼。我們現在把這個1/2的頻率音程叫做“純五度”。

因為和諧（harmony）如此之好，對音樂如此重要，以致現在的交響樂團多用這個詞根，稱作“philharmonic”，亦即希臘語的“philia”（愛）加上希臘語的“harmony”（和諧）。聽說過“柏林愛樂樂團”嗎？就是這個詞；聽說過“卡拉揚”嗎？就是這個樂團的“子飛”。記得這哥們的名言嗎？“沒有不好的樂團，只有不好的指揮。”意思就是好的子飛發現樂團里有人技術不行態度不對就直接開除了，不開除的限期達標，不達標的繼續開除。啊？哦，其實不完全是這樣，一個不是很出色的樂團在一個很好的指揮手裡就成為了另外一個樂團。就如同不怎麼會打仗的美國北非集團軍到了巴頓手下就成了威武之師了。

和諧如此之好，好人壞人都要用；就比如科學（另外一個古希臘創造）如此之好，反科學的也要標榜自己科學。就如同冰箱席夢思抽水馬桶如此之好，以致東方西方都要用，反西化的也用：白天聲嘶力竭高喊反西化，晚上睡在席夢思上。慈禧太后當年沒有冰箱，就只好在冬天庫存很多冰供她夏天享用。如果有冰箱，葉赫那拉氏萬歲萬歲萬萬歲也肯定第一個用。於是和諧就變成現在的“河蟹”了，這解釋了一個偉大的理念是如何被吃貨貶值為食品的。至於抽水馬桶，至今還有哪個國學衛道士蹲在茅坑上拉屎嗎？

^{言歸正傳，如下是老畢方法的音階相對頻率和絕對頻率表，以及12平均律的相對頻率和絕對頻率表。這是使得童鞋們變“二”的第一步，先不要管12平均律，那樣會立即變瘋的。我們的策略是逐步變瘋：}

表1：頻率和音高的關係以及畢達哥拉斯音階和12平均律音階的誤差

左列中的Middle C是鋼琴上中間的那個C，那個A440是一個非常重要的音符，其是一個絕對音高，是後人規定的標準。就如同測量海拔一定要有海平面，沒有它就不知道山峰的海拔高度了。而A440就是測量音階的基準，所有別的音高都是根據它衍生的相對值。A440也就是大A音符，其頻率定為440Hz。知道Hz嗎？中文譯作赫茲，是一個德國科學家的名字，為了紀念他而以此作為頻率的符號。440Hz就是每秒震動440周。

如果記不住這個頻率，就想想“二”，再看看這個440。440 = 2 X 220

這得多“二”啊！我相信你已經記住了。記住，如果不足夠二，那麼你既不能搞音樂，也不能搞數學，也不能搞物理。就這麼簡單。所以柏拉圖當年的學園裡必須要學數學和音樂，如果不懂數學那是絕對不合格的，因為你不懂數學和音樂就一定會成為一個壞人或者是蠢蛋。童鞋們，這是否有點太嚴厲？但是不能說人家不對吧？

    老畢的麻煩    

現在我們知道，“1”（do）乘以(1+1/2)，就成了“5”（so），我們一直這樣乘，就可以得到所有的音階。

圖表2：老畢音階的上行和下行的誤差

我這裡只列出了自然音階，加上，別的半音階我都沒有列出。讀者可以自己試試，只要不斷繼續乘以(1+1/2)，就可以得到所有的音階。但問題是，高音c（do），按照老畢自己的理論，必須是中音C的二倍。（這裡我們再次出現2，整個音樂實際上就是由2組成的，不二就沒有音樂）。但是，我們一直乘以(1+1/2)（包括超過音域後不斷除以2以使得其回到我們需要的八度中）得到的高音c（do）的頻率參數是202.73，而不是200。同樣，上行得到的F和下行得到的F也是如此，前者是135.15，而後者是133.33。

這就是老畢音階的麻煩。本來這也沒有什麼，我們上行得到一部分音階，除F（fa）以外，而下行得到F，就是完整的自然音階了。最多再多上行和下行幾步，就可以得到所有的12音階。但是，這個環是不封閉的。也就是我們剛才看到的，上行得到的F和下行得到的F有大約2%的誤差。

這本來是一個不是問題的問題，其並不影響我們對音樂的欣賞。但依舊是一件不完美的事情，尤其是對古希臘人，這樣的不完美是不可容忍的。這不是由於在現實生活中對他們產生了什麼負面的影響，一點都沒有。但是從理論上，古希臘人不容忍這樣的不完美。但是老畢無法解決它。老畢其實也沒有試圖採取任何妥協的方式來緩解它，因為對古希臘人來說，這樣的妥協是不可容忍的。

但是這樣的妥協在17世紀就變得十分現實了。特別在製作鍵盤樂器這樣的有固定音階的樂器的時候，上行的半音和下行的半音不相等就等於固定音階的定位問題。比如，和不是一個頻率，而是差了2%弱。顯然不可能為了這不到2%的誤差在6和7之間製作兩個鍵，而且這兩個鍵所發出的音頻的差異是人的耳朵無法辨別的。

   12平均律的產生    

正是這樣的麻煩，導致了一個折衷的方案，畢竟，總不能為了這人耳無法辨別的2%頻率誤差再在A（6）和B（7）之間做出兩個琴鍵（如果是鋼琴的話）。用12平均律音階代替老畢的音階，實際上就是用可以容忍的錯誤代替過於麻煩的正確。在人類社會中這樣的例子比比皆是。

現在我們回到圖一來看看這些頻率：老畢的參數和頻率都是有理數，而12平均律的參數和頻率（除了A440外）都是無理數。因此老畢的音程都是有理數，而12平均律的音程都是無理數。

老畢的音程生成是按照某一個主音的頻率開始，然後不斷乘以（1+1/2），就可以了。

12平均律就更加簡單，其關鍵是一個參數2^{1/12，亦即2開12次方，然後在某一個主音的頻率上不斷乘以這個參數即可。比如2（re）的頻率，就是在1（do）的頻率上乘以兩次}2^1/12,^亦即2^2/12, ^{而5（so）的頻率，就是乘以7次，亦即}2^7/12。

那麼這個2^1/12是如何產生的？實際上，“12平均律”就是把中音C和高音c之間的頻率“平均”分成12個間隔，就是這樣產生的，這也就是其名字的由來。但是這12等分不是算術等分，而是幾何等分。也就是說，每一個音符的頻率和前一個音符的頻率之比例相等，而不是差額相等。我們根據這個原理，就可以計算這個比例：

2f=fp¹²

即

p=2^1/12

這就是“十二平均律”的關鍵比例的由來。至於為什麼相鄰音符的頻率增減的比例相同而不是增減的差額相同，這完全是由於我們的耳朵對音程的感覺和分辨。我們的感覺是和幾何差距相關而不是和算術差距相關。比如我們對聲音的強度就是如此，50分貝比40分貝實際上音強增加了10倍，50分貝比30分貝增強了100倍，但是我們感覺到的卻是40分貝比30分貝所增強的和50分貝比40分貝所增強的是等值的。再比如，你在10歲的時候對一年的感覺，和你在50歲的時候對5年的長度感覺是一樣的。所以小時候覺得一年很長，而大了以後覺得一年很短，越隨着年齡增加，越覺得日子飛快。再比如漲工資，你一個月拿$1000的時候，給你漲$1000，那是什麼感覺？簡直是欣喜若狂。但是當你一個月拿$100,000的時候再給你漲$1,000，你肯定無動於衷甚至嗤之以鼻。貪得無厭就是這樣來的，越多就覺得越不夠多。緊跟多多益善的就是快快完蛋。

但是也有不貪的，那些很二的就屬於這樣的人。可喜的是，中國也有這樣比較二的人。據說12平均律的最先提出者是中國明朝的皇孫朱載堉，他是明朝開國皇帝朱元璋的九世孫。如果真的是這樣，那麼朱載堉是中國皇家裡最“二”的皇孫，和唐玄宗完全可以媲美。當然，在中國這些很“二”的都沒有什麼好的結局，唐玄宗弄了個安史之亂，連自己心愛的女人也沒有保住。朱載堉也不可能當上什麼皇帝。因此中國的問題是“二”的人沒有什麼好結局，因此“二”的人越來越少。不像希臘人，你不二，就不能獨樹一幟受人尊重。於是“二”的人越來越多。那個特別二的畢達哥拉斯只是眾多二的哥們中的一個，你翻翻古希臘歷史，真的找不出幾個不二的來。

翻翻古希臘歷史，真的找不出幾個不二的來

比如那個更二的芝諾給出了一個悖論，楞是證明了他們祖上的國王和英雄阿喀琉斯追不上烏龜。你說要是在咱這裡，你要是想說秦始皇追不上烏龜，你就全家玩完，你要是碰上漢武帝，你還沒有說出來就被腹誹治罪滿門抄斬了，到了康熙乾隆，你一句“清風不識字”剛寫完，就讓你變成青煙了。

反正，據說是朱載堉發明12平均律比西方早了幾十年，還把2^1/12的計算精確到了25位數。如果屬實，這還真的有一點祖沖之的精神。但是畢達哥拉斯沒有這個興趣，不僅畢達哥拉斯沒有興趣，到了阿基米德也沒有對具體數值的興趣。你要是穿越2000多年回去，問古希臘數學家√2的具體數值，他們肯定給你一個邊長為1的正方形，然後畫一條對角線，告訴你這條對角線就是√2。

尼瑪。你能夠說他不對嗎，這可是最正確的√2。古希臘人對任何近似值都不感興趣。阿基米德早就知道怎麼算圓周率，但是這哥們算了幾步就不算了，他的想法很清楚：反正我都知道這個方法了，具體計算沒意思，只要你肯花功夫，多少位數都可以算到。這種計算工作在古希臘被認為是一種“藍領工作”，被認為應該是奴隸們幹的。

中國的皇帝都像朱載堉就好啦

總之，要是中國的皇帝可以像朱載堉這樣比較二，把時間花在計算音階的頻率上而不是放在宮廷政變和搶班奪權和焚書坑儒上，中國的事情就會好辦很多。中國問題就是在於皇帝不夠二，子民也不夠二，並且子民不喜歡二的皇帝。子民們總是為那些發動宮廷政變和權力鬥爭的勝利奪取皇位的陰謀家喝彩，而很少為那些沒有政治野心而只是想把自己的興趣玩好的個人喝彩。總之，這個民族不夠二，太一，於是就有一個國家，一個皇帝，一個聲音，一個思想，反正後來就成了一統天下，然後一籌莫展，最後就一塌糊塗了。人家很二，後來就二黨制；咱們不二，就……

    調性與和弦  

由於以上的原因，也就是由於我們的耳朵對於頻率是否悅耳的判斷，使得我們有了音階。漢族的傳統音階比較簡單，亦即所謂的五聲音階：1,2,3,5,6。沒有4或7。別的民族的音階可能比較複雜一些。西洋音階不僅有4和7，而且經常有^#4和^b7。為什麼^#4和^b7比較經常出現？因為它們最接近自然音階：7（si）上行純五度就是^#4，而4下行純五度就是^b7。

儘管鋼琴上的白鍵和黑鍵都是人為的，但是用來說明問題還是比較方便的。如果是C大調，那麼就是以C為1（do）按照大調音階生成的。在鋼琴上就是全部白鍵。如果用絕對音高來表示，就是：

C,D,E,F,G,A,B，這就是C大調的1,2,3,4,5,6,7（請對照圖表一）。

但是我們並不想總是這樣譜曲或者唱歌，比如一個人想把G當做1（do）來唱歌，這也沒有什麼不好。這時的絕對音高就會是這樣的了：

這是由於，大調音階要求在第六和第七音之間是一個全音，但是卻碰到了E到F是一個半音的現實，於是不得不把F升半音，這樣就解決了問題。

如果一個人想把D作為1來唱歌，那麼音階的情況就會是：

不僅F需要升半音，而且C也需要升半音。

那麼有人想把F作為1來唱歌呢？這時音階就變為：

我們看到自然音階在第三和第四音之間需要是半音，而碰到的卻是全音，於是就必須將B降半音。

如下是一個相當好用的辦法，讓你立即知道哪個調性需要有幾個升降音，並知道升降哪幾個音：

在一張紙上，先寫1,2,3，然後把4,5,6,7錯開插入，就變成：

4,1,5,2,6,3,7

或者寫成絕對音高的形式：

F,C,G,D,A,E,B

好了，我們開始。我們從C開始。C大調沒有升降號。那麼在C右側的G大調呢？G的位置是C+1，這裡的1就是我們要觀察的左側的第一個位置，也就是F。這意味着：G大調有一個升號，升在F上。不信你打開你們家的鋼琴蓋子，仔細核對一下。

D大調：這是在C+2的位置上，我們就取左側兩個音符，也就是F和C。這意味着：D大調有兩個升號，升在F和C上。

如果是F大調，此時是C-1的位置，那麼我們就取右側第一個位置，這是B。因此，F大調有一個降號，降在B上。

如果我們再降一個調，但是我們發現F左側已經沒有東西了，此時我們就繞到右側，第一個是B，由於是從左側繞道右側的，這個B實際上是。這個降B調比C調左移了2個位置，即C-2，我們需要找到最右側的兩個，即B和E。因此，降B調有兩個降號，降在了B和E上。

同樣的原理，大家可以試試^#C調的升降號。應該可以發現，其需要有7個升號，升在所有音階上。

小調音階和大調音階的差別在於：其第三音總是降半音，而其第六音和第七音也經常降半音。如果審視一下C小調和C大調的區別：

C小調為：

，而C大調是C,D,E,F,G,A,B。

按照我們以上的分析，c小調實際上是^bE大調的音階。於是，C小調和^bE大調是很接近的。因此便有規律：一個大調和其下行小三度的小調擁有基本相同的音階。比如C大調和A小調擁有基本相同的音階。以此類推。

想知道貝多芬的九首交響曲用的是什麼調式嗎？

圖表3：貝多芬的九首交響曲的調式

和弦又如何呢？由於這在維基百科上已經說得很多很好了，我和他們說的基本一致，因此就不必多說了。和諧給聽眾一種快感，這就是為什麼音樂常常使用和弦。但是純粹的完全的和諧卻略顯單調，比如對位和諧的是八度，比如C和c。拉過小提琴的人知道，當你在D弦上拉G這個音的時候，G弦（最裡面的那根弦）會震動。而且振幅相當不小。這就是共鳴。

完全和諧是單調的，於是我們經常採用比較不單調的飽滿的純五度，也就是頻率差為1/2的兩個音符組成的和弦。比如C和G，這就比八度要飽滿一些。但是這還不夠，更加飽滿的是大三和弦，也就是由三個音符組成，他們的音程是純五度，大三度和小三度。這是一個十分明亮飽滿的和弦。

再說，看到現在，你們頭也大了。你們現在得出的結論不是音階很容易，而是林炎平很二。但這不是林炎平的錯，而是畢達哥拉斯的錯，老畢才是始作俑者。

    音域和音色    

我們人的耳朵只能感知一定範圍的聲音頻率，基本上就是在20Hz-20,000Hz。20Hz以下的叫次聲，20,000Hz以上的叫超聲，這兩種聲音我們都聽不到。但是它們確實存在。次聲對我們的健康有害，而超聲有很多用途，比如醫學上的B超成像檢查，用的就是超聲波。

樂器的頻率非常有限，太低和太高的頻率都令我們不悅，因此就不使用。比如我們的鋼琴有88個鍵，其音域頻率從最低的27.5Hz到4,186Hz。童鞋們不妨敲打一下鋼琴上的最左側和最右側的鍵，已經可以感覺到太低和太高了。

鋼琴確實音域很寬，有7個八度加4度，但是和耳朵可以聽到的頻率相比還是有限的。而我們人可以發出的聲音頻率就更加有限了。童鞋們可以一邊敲鋼琴的鍵，一邊跟着唱，看看自己的音域有幾個八度。如果你有一個半八度的音域，那就不錯了。如果到兩個八度，那就十分好了。如果可以到兩個半八度，你就很有天賦了。不過記得不要在周圍有人的時候試，免得把人嚇跑了。也不要在夜深人靜的時候試，免得有人報警，因為你努力唱高音的時候恐怕不會比喊救命更加優雅。

試試你能唱幾個八度

如果你有兩個八度的音域，而且發現你可以唱到C5，（亦即440 X 2 X 2= 1760Hz）那你是男高音，而且天份好極了。要是你可以唱到低音C2（亦即440/2/2=110Hz），那你就是男低音，並且值得驕傲了，因為中國人低音好的不多。如果你可以唱到C6，（亦即440 X 2 X 2 X 2 = 3,520Hz），那你就是很好的女高音了。

圖表4：男低音和女高音的音域

我們可以看到，實際上男低音和女高音的音域實際上有一段是重合的。但是，為什麼即便在重合的這一段，我們仍然可以分出哪個是男聲，哪個是女聲呢？這就是音色的不同造成的區別。這就如同我們很容易分辨小提琴、鋼琴、小號、長笛的聲音。它們可能發出的是同一個頻率的音符，但是我們仍然很容易辨別是哪個樂器發出的。童鞋們，這是為什麼呢？

當小提琴和長笛都奏出同一個頻率的音符，比如C4（所謂Middle C）時，它們的基波相同，但是高次諧波卻不相同。聽起來這就是我們馬上要進入直接從音樂愛好者變成瘋子的節奏。在童鞋們變瘋以前，我還是要再說幾句。不想變瘋的可以不聽。

按照法國數學家傅里葉（Fourier，1768-1830）的發明和發現，任何一個振動都可以表述為數個或者無數個簡諧振動的疊加。這裡的所謂“簡諧振動”就是正弦波振動。我們過去調鋼琴的音高用的標準音叉產生的就是簡諧振動，一個標準音叉只產生一種頻率的簡諧振動，而沒有高次諧波，這樣就避免由於高次諧波產生的一些不應該發生的共鳴的可能性。只有簡諧振動可以做到這點，因為它沒有高次諧波。

如下是傅里葉級數的表達式，說的就是上一段的意思。看到沒有？N就是簡諧振動的個數，它可以趨於無窮。

你相信嗎，一個方形的波可以由無數個正弦波的疊加獲得？我知道你不信，這就是你還沒有變瘋的證據。但是你很快就會變瘋的。你看如下的圖解：

圖表5：一個方波可以由無數個正弦波疊加組成

圖中藍色的方形波在挑戰我們的紅色的正弦波：你要模仿我？你來啊！

好了，我們第一個正弦波（紅色）來了，頻率和方形波顯然一樣，兩個波形的差距之大顯而易見。很好，沒有變瘋。接着，第二個正弦波來了。這個正弦波具有兩倍於方形波的頻率以及較小的振幅，其和第一個正弦波疊加後，有那麼一點點意思了。好像是方了一點？我是說瘋了一點。接着再來第三個正弦波，其頻率是方形波的三倍，振幅更小一些，以上三個正弦波疊加後顯然波形更方了。我是說更瘋了！經過四次疊加，我們就得到了一個相當方的波形。你還不信再疊加下去紅色波形會越來越方並且最終和藍色的方波徹底重合嗎？傅里葉級數的誤差分析就證明了：只要N趨向無窮，紅波和藍波之間的誤差就趨於零。也就是說徹底重合。

我知道你已經變瘋了！恭喜了！你向畢達哥拉斯邁進了一步。

現在我可以告訴你音色和音高的關係，以及音色的秘密了。那第一個正弦波，就是音高。後面所有的正弦波的疊加，就是音色！這就是你為什麼可以聽出長笛和小提琴的差別，這也是為什麼你不會弄錯男聲和女聲。

但是，未必。有的男聲聽起來像女聲，反之亦然。這就是因為，由於某種原因他們的高次諧波也相同了。比如太監。

正是有了傅里葉級數，我們現在可以用電子合成任何樂器的聲音。這就是你可以買一架電子琴，可以選擇奏出各種樂器的聲音。有電子琴嗎？試試。合成的音色非常像原來的樂器，幾可以假亂真。這就是用了傅里葉級數的原理，把鋼琴的高次諧波加上去，你就聽到了鋼琴的聲音；把小提琴的高次諧波加上去，你就聽到了小提琴的聲音。

    令人不安和快樂的振動    

振動既令人不安，也與人快感。如果你想到了地震和車震，那說明你還挺幽默。不過我們這裡不說這個，只說廣義的振動。

這種令人不安和與人快感的兩難，卻構成了某種人類創造文明的原動力。在不安和快感之間尋求某種平衡，是社會進步的一個重要途徑。而音樂，正是這種進步的一個重要象徵，亦即：讓不安和快感產生刺激，卻又達到和諧。這應該就是音樂的本質，也是人類社會進步的本質。

振動不可避免，英雄讓振動成為音樂，並告訴你這樣的美好可以通過理性獲得；而梟雄讓振動成為噪音，並告訴你這樣的災難不可避免。一個偉大的制度是讓個體的振動保持足夠的獨立，並形成共同的和諧；而一個卑劣的制度是讓所有個體都失去自由的振動，而讓個別人去折騰所有個體。這就是為什麼有的人群會有偉大的合唱，比如巴赫的大合唱，貝多芬的《歡樂頌》，而有的人群卻只有在萬馬齊喑的集體靜默和聲嘶力竭的山呼萬歲之間徘徊。

畢達哥拉斯在2600年前的那些對振動的研究，給我們帶來了有關數學、物理和音樂之間關係的啟迪。我不知道老畢當時把哪個作為他的優先級，數學？物理？音樂？我覺得這都不是他的所要追求的。他真正追求的是認識這個世界的奧秘。他把對世界本源的認識從具體的物質轉向了抽象的概念：在物質的表象背後有着更加真實的本質，而這個本質可以不是物質的。在這個意義上，他超越了他的前輩泰勒斯和米利都學派。他是如此地極端，居然把世界和物質一刀兩斷，卻把看不見摸不着的數認為是世界的本源，而物質只不過是其表象。以至於他的後來者德謨克利特的原子論幾乎可以認為是泰勒斯們和畢達哥拉斯的思想的折衷。我不知德謨克利特是否真的折衷了畢達哥拉斯和泰勒斯，但是畢達哥拉斯充滿勇氣和智慧的論斷應該足以讓德謨克利特在提出世界萬物都是由相同的不可再分的原子組成這一理論時少了一些猶豫。

老畢：追尋世界的本源

我相信當時老畢也是非常痛恨無理數的。但是那個出格的門徒正是由於老畢的精神才發現了無理數。我不知道老畢應該是感到驕傲還是沮喪，無論哪種，都是他那個學派的光榮和悲傷。他們的探討如此深刻地影響了幾千年後的人類社會。我不知道今天還有多少人在大學畢業20年後還會複述老畢和其門徒的證明，不少甚至忘記了老畢，但是老畢仔細論證過的音程和它們之間的和諧或者協和令我們絕大多數人心馳神往。很少有人對任何音樂都不感興趣。

據說“不懂音樂的人的人格是不健全的”。我非常相信這點。儘管我覺得老畢很二很瘋，正是有了這樣的瘋子，我們這個世界才變得理性和明亮起來。如果這個世界沒有音階，將會是個什麼樣子。我相信，沒有畢達哥拉斯也會有音階，也會有音樂。但是，如果沒有了畢達哥拉斯這些人所代表的精神，人類對於音樂的理解可能就不會是後來的樣子，而且那些偉大的作品未必會問世。

老畢的發現是極其基礎的，基礎到沒有人在欣賞音樂的時候會想到他。但是，如果說柴可夫斯基的音樂是優美的散文，貝多芬的音樂是偉大的史詩，那麼畢達哥拉斯的音階和和弦就是文字和語法。沒有了文字和語法，任何散文或史詩都不可能存在。我們在欣賞優美的散文和偉大的史詩時，很少會想到文字和語法，它們的存在似乎是天經地義的。但是，歷史告訴我們：並非如此。記住畢達哥拉斯吧！正是他，給出了音樂的文字和語法。這是音樂無法撼動的基石和永恆的理念。

確實，振動帶給了我們不安和快感。而和諧的音樂使得這種不安和快感升華為震撼心靈的天籟。我很願意建議讀者聽貝多芬的第九交響曲以體驗人類是如何將這種不安和快感登峰造極為如此偉大的音樂的。但是，在這裡我卻建議你在此時聽一首很短小的曲子，其是眾多偉大的曲子中的一首。我建議它，既是無意也是有意。請品嘗和思考這首曲子。這就是Pachelbel（1653-1706）的“Canon inD”（D大調）。這是交響樂尚未問世的公元1700年以前的曲子。Pachelbel比巴赫早30年，比貝多芬早100多年。它是音樂作為文藝復興的成果的重要代表。[1]

這首曲子和它的同時代的音樂一起，造就了巴洛克時代的音樂，也為巴赫和海頓鋪平了道路，為貝多芬的登峰造極做好了準備。

貝多芬的音樂是令人極其不安的，它令人振奮，令人思索。他的音樂就是宣言：讓令人不安和與人快樂的振動永遠激勵我們！

    那些美麗背後的數學    

我們介紹了Canon in D，其實，Canon並不是這首樂曲的名字，而是一種規則，Canon in D的意思是用Canon這個規則寫的D大調樂曲。Canon是音樂應該尊重的完美的規則，並且，Canon作為一種美學規則，也不僅僅用於音樂，同樣可以用於繪畫。而實際上，Canon在繪畫上的運用要比在音樂上早得多。

文藝復興的繪畫在藝術領域裡最先體現了人本主義精神。波特切利在1482年創作的《春》和1486年創作的《維納斯的誕生》是這個偉大新時代的先驅[2]。在這裡也順便紀念一下吧。插圖是這幅畫的局部，當代好事者在畫面添加的斐波那契級數地磚（Fibonacci Tiles）是為了說明Canon在繪畫審美上的運用。

Pachelbel在此200年後創作的Canon in D，似乎是音樂對繪畫先驅們的一個回音。至於為什麼文藝復興的精神在音樂上的體現要比在繪畫上晚了200多年，這是一個很有趣的問題。到底為什麼音樂的進步滯後於其它藝術的進步？這僅僅是中世紀走向文藝復興的一個特例？還是一個普遍的規律？希望大家來尋找這個答案。

在公元前800年，古希臘的行吟詩人荷馬在希臘城邦間雲遊的時候，我們今天只知道他吟誦的內容，以及使用的樂器，但是並不知道他吟唱的旋律。那些旋律永久消失在歷史的塵埃里了，而這些史詩所傳唱的古希臘理念卻在希臘地區形成了共同的文化和價值，進而產生了獨特的民主政治和自由理念。如果沒有荷馬和他的史詩，我相信古希臘不會有泰勒斯和赫拉克利特，也不會有梭倫以及後來的克里斯蒂尼和伯里克利，也不會有蘇格拉底、柏拉圖和亞里斯多德，也不會有埃拉托色尼和阿里斯塔克。當然，也不會有畢達哥拉斯。介於荷馬史詩的傳唱和此後城邦政治的繁榮之間的畢達哥拉斯和他的學派到底起了什麼作用？這也許是一個無法徹底在這裡討論清楚的問題。但是，我們可以肯定，畢達哥拉斯的意義跨越了當時的空間也跨越了此後的時間。

圖表6：波特切利的《維納斯的誕生》局部和可能的斐波那契級數的審美意義（Canon）[3]

古希臘和畢達哥拉斯時代的音樂已經不可考了，音樂不像建築，後者幾乎與世長存，但是前者卻瞬時即逝。但是偉大的音樂一定以其的深厚和振奮把自己凝固在當時的建築中，我相信任何時代的建築都體現了那個時代的音樂。音樂是流動的建築，而建築則是凝固的音樂。音樂是振動在時域中表現的動感，而建築是振動在頻域中表現的靜態。（我這裡提到了“時域”和“頻域”，這是兩個術語，不諳數學物理的童鞋可以不理會它們，只要知道“時域”是關於動態時間的坐標，“頻域”是關於固定頻率的坐標。）

畢達哥拉斯證明了音樂和數學物理之間有着非常緊密的關係，這和“畢達哥拉斯”定理的意義同樣深遠。

如果沒有數學，也就不會有物理。沒有了數學和物理，人類社會還剩下什麼？洪荒一片，這而絕非危言聳聽。而沒有了數學規律，也就沒有了音樂，人類社會將只有噪音。

音樂一定是通過數學和物理更加長久地成為我們人類精神上的永久建築。

數學、音樂和物理同樣重要，這就是為什麼在畢達哥拉斯之後2000年，文藝復興時代的伽利略如是說“上帝是通過數學創造了宇宙”。他的時代還不能接受他真正想說的話“只有數學不可懷疑”。這是畢達哥拉斯“數是萬物之源”在2000年後的偉大回音和共鳴。

如果以上寫的讓你對音樂的物理數學原理有了一點了解，讓你有了一些探討音樂背後的理念的理由，讓你對音樂本身有了一些興趣，那就請你謝謝畢達哥拉斯吧！

    畢達哥拉斯幽靈   

我們這個世界只是數的規律的表象。畢達哥拉斯肯定會說這句話。

在畢達哥拉斯的那個弟子發現了無理數之後的2000年，人們又發明了另外一個更加不可思議的數，這就是虛數。我在這裡之所以說無理數是“發現”，而虛數是“發明”，這是因為無理數是自然存在的，而虛數是我們為了使用而發明的。當然你也可以爭辯：其實所有的數都是發明的。虛數的單位是，它等於“根號-1”（）

。我知道你肯定說發明這個的人比畢達哥拉斯的那個弟子還要“二”。確實，-1是沒有平方根的，但是為什麼我們不製造一個平方根，規定它的平方就是“-1”？你不開心嗎？那你就不開心吧。

事實證明，這個的作用極大，使得原來的數一下子從一維擴展到了二維。你這會看出來了，“二”又來了。沒有了這個虛數，拉普拉斯變換也就不可能產生，沒有了拉普拉斯變換，電子學電工學和控制論都可以歇菜了。因此我們看到，數學是多麼偉大。伽利略沒有錯，畢達哥拉斯沒有錯。

這些都太枯燥了，這樣下去真的讀者都跑光了。你如果現在還沒有跑掉，那麼你已經是那5%堅持到最後的。先別跑，這就結束了。

但是在結束前，我們一定要給大家看一個偉大的方程，這就是歐拉方程。

我們知道，在所有的數中，有5個是最重要的常數，它們是：0，1，π（圓周率3.141592…），e（自然對數的底2.718281828…），（虛數單位）。其中兩個有理數，兩個無理數，一個虛數。歐拉居然把他們寫在了一個方程式里。而且，在這個方程式里只有它們，外加一個加號和一個等號：

eπ+1=0

你還不相信上帝通過數學創造了宇宙嗎？如果你還不信，那麼我們來看一下“黃金分割”和“斐波那契級數”。黃金分割和斐波那契級數其實是一回事。看過《達芬奇密碼》的人一定知道斐波那契級數，那是文藝復興前夕的意大利數學家斐波那契（Leonardo Fibonacci 1170 - 1250）發明和發現的。

斐波那契級數是這樣的：

1，1，2，3，5，8，13，21……Fn

其中

F_n=F_n-1+F_n-2,

黃金分割則是由古希臘人發現的，也和畢達哥拉斯有關，歐幾里得對其是這樣定義的：

將某個長度切成兩部分，使得整體比長局部等於長局部比短局部，那麼這個比例就是黃金分割。求解可以獲得這個比例

有意思的是，在斐波那契級數中，後一項和前一項的比，隨着n的增加，總是在黃金分割值上下浮動，而且逐漸接近黃金分割值，最後在n趨於無窮時收斂於黃金分割值。

上面我們提到了歐幾里得。這是一位在畢達哥拉斯之後的“二”的集大成者。他的《幾何原本》在2000多年後的今天還在原封不動地作為教科書教導我們。歐幾里得幾何是“普世價值”的最好詮釋，不管你是什麼民族什麼地位什麼膚色什麼信仰，你都必須學習歐幾里得幾何。（當然你可以說還有“非歐幾何”，亦即“雙曲幾何”和“橢圓幾何”。沒錯，這是歐幾里得幾何的兩個“孫子”，但這是另外一回事，這裡就不多說了。）歐幾里得幾何是邏輯思維的榜樣和科學方法的典範。

順便說一句，歐幾里得用不到10行字詞，就證明了素數的個數是無窮的。有興趣的自己查找，那方法絕妙無比，用的也是我們開篇舉例中的“反證法”，實在是精彩絕倫光輝奪目，這裡不予展示，免得亮瞎你的雙眼。

當代的“好事之徒”們認為斐波那契級數和黃金分割是偉大畫家們實際遵守的規則，不管是有意識的還是下意識的。那個海螺式的圖形就是所謂斐波那契級數“地磚”。他們號稱波特切利和達芬奇就是按照這個規則構圖的，因此這是美術的Canon。

至於達芬奇，這是一位我們不需要討論的人。他是偉大的畫家，這是大家都知道的，《蒙娜·麗莎》和《最後的晚餐》都是大家耳熟能詳的。但他還是工程師、生物學家、解剖學家、建築師……，還有，他是一位出色的數學家。看到沒有？數學！看到畢達哥拉斯的影子了嗎？這位偉大天才的事跡和創造實在太多太精彩，建議童鞋們找來看看。

圖表7：達芬奇的繪畫和手稿

我剛才提到了畢達哥拉斯的“影子”，那其實不是影子，而是幽靈。這是畢達哥拉斯幽靈，一個古希臘幽靈，誕生於古希臘的愛琴海，穿越過漫長的中世紀，發軔於文藝復興時代，濫觴於我們現代。我們到處都有這樣幽靈，到處都受惠於這個幽靈，比如自由平等博愛民主科學公民。當然包括我們說的音樂數學物理，還有繪畫。這個幽靈的副作用就是很“二”，它根本不知道“以食為天”，從不安分守己，時刻異想天開，到處尋釁滋事。

我想說的是，如果你喜歡音樂，請向畢達哥拉斯致敬，向“二”致敬。如果你不喜歡音樂，那麼是你開始喜歡音樂的時候了。因此，也是你開始喜歡畢達哥拉斯和他的幽靈的時候了。

- End -

[1]：https://www.youtube.com/watch?v=JvNQLJ1_HQ0（PachelbelCanon in D Major - the original version）國內的朋友只好在別的音樂網站上找，或者直接在iTune上下載。

[2]https://artislimited.wordpress.com/2012/10/03/the-canons-of-beauty-in-the-history-of-art-the-golden-mean/

[3]參見卡農的美學意義

http://en.wikipedia.org/wiki/Aesthetic_canon