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费马大定理-欧拉猜想
送交者:  2024年10月17日07:24:47 于 [世界时事论坛] 发送悄悄话

天蓉

  欧拉在研究费马最后猜想时,也提了一个猜想,欧拉猜想还引出了一个“最短的数学论文”……

  在数论的历史长河中,有很多著名猜想。有些猜想被证明,有些猜想被证伪,还有些至今没有结论,仍然是未解之谜。费马大定理的证明过程历经了三百多年,最后被解决了。三百多年中也产生和激发了许多别的猜想。

  比如欧拉,就在费马最后猜想的启发下,也提了一个“欧拉猜想”,说的是以下方程无正整数解:

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  比如说,当n=4时的欧拉猜想,说的是方程:a14+ a24+ a34= b4无正整数解。当n=5时的欧拉猜想,说的是方程:a15+ a25+ a35+ a45= b5无正整数解。

  欧拉于 1769 年提出这个猜想,一直到欧拉去世,也仍然是个猜想,因为无人证明也无人否定。事实上,持续了将近200 年,也是这个状况。不过后来,现代电子计算机发展起来了,速度越来越快。终于在1966 年,L. J. Lander和T. R. Parkin,在《美国数学学会 公报》上,发表了他们的论文,用两句话推翻了欧拉猜想。

  这是当时在严肃的数学期刊上发表的最短数学论文:只有两句简洁的句子:

图片

  论文中说,他们利用当时最快的电脑CDC 6600找出了n=5时欧拉猜想的反例:

  275+845+1105+1335=1445

  1988年,诺姆·埃尔奇斯Noam Elkies找出一个对制造n=4反例的方法。他给出的最小反例如下:

图片

  Roger Frye以埃尔奇斯的技巧用电脑直接搜索,找出n=4时最小的反例:

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  Noam Elkies 还证明了n=4时的方程有无穷多个解。好像现在仍未找到当n> 5时的反例。


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