戴榕菁

前文“找到欧拉出错的原因了”【[1]】在找出导致作为刚体力学基础之欧拉方程出错的原因后，说了这样一段话：“欧拉大师犯的还真就是一个中学或最多大学水平的简单错误，而全世界的数学工作者，物理学工作者，和工程师们就跟在欧拉后面错了近3百年。”

我现在要将上面这句话做一纠正为：“欧拉大师犯了一个在今天看来似乎是中学或最多大学水平的简单错误，而全世界的数学工作者，物理学工作者，和工程师们就跟在欧拉后面错了两百六十年。”

之所以做此纠正是因为我找到一篇专门讨论欧拉如何推导其刚体力学方程的文章【[2]】，从该文可以看出当初欧拉推导出的刚体力学的欧拉方程(23)与今天教科书及文献【[3]】中的是一回事，因而同样是错的，但是其推导过程却要比我在“欧拉会犯这样的错吗？”【[4]】一文中给出的复杂的多，那可比大学水平深奥多了。。。。我之前给出的推导是今天人们推导刚体力学的欧拉方程的步骤，是经过两百六十年的不断精炼后的表达。。。。也正是那样的表达才使得我比较容易地看出其中的问题。至于将【1】中的“近3百年”改为“两百六十年”是因为由文献【2】得知现在使用的欧拉方程是1765年发表的，而之前谷歌搜索的AI告诉我说欧拉方程可以从欧拉1736年发表的treatise of mechanics中找到。

关于文献【2】对于刚体力学的欧拉方程的推导的介绍，我们可以注意到这样几个要点：

1. 欧拉在没有运用我在“找到欧拉出错的原因了”【1】给出的方法的情况仍得出同样错误的结果，这主要是因为文中第6页上介绍的下面这段思路：

【Euler chooses a system of axes fixed in the absolute space IA, IB, IC and determines the position of the rotation axis IO through the angles AIO = α, AIB = β and AIC = γ. Afterwards, he considers a point Z of the rigid body, with coordinates (x; y; z) with respect to axes IA, IB, IC, and he chooses three mutually perpendicular axes Za, Zb and Zc, parallel to the axes in absolute space, in such a way that they pass through Z and are principalof inertia. If the body is rotating along the IO axis with an angular velocity ω, the components on Za, Zb and Zc could be expressed by means of the direction cosines】

以及这句话：【From here, it is possible to calculate the moments of the forces in each axis, obtaining, for the component along the Za axis】

由这两段可以看出欧拉在求力矩时并没有进行伽利略叠加，而是在非惯性系里求瞬时力矩，尽管他之前的力都是在惯性系里求的 -----从这点上来说，欧拉大师确实犯了一个基本概念的错误，但是如果从整体推导来看，他的错误并不像我在【1】表达的那么简单粗浅；

2. 其实欧拉大师在得出现代版的刚体力学方程 (23) 之前，在1752年给出了在我（草草）看来是正确的刚体力学方程即该文的 (17)，但他认为太复杂了，便放弃了，反而在1765年给出了一个被全世界延用至今的错误方程 (23)。

3. 由该文可以看出，在得到刚体力学的欧拉方程的那些年中，欧拉为了得到相关方程还做出了一项至今仍是重要理论的工作：即该文一上来介绍的刚体转动的瞬间轴定理。

结束语

其实，作为一名顶级大师，欧拉并不需要别人为他说什么，一个方程的错误也掩盖不了他巨大的学术贡献。我之所以感到需要出来为欧拉大师说几句是因为在前文【1】中我把欧拉所犯的错误说的听起来是一般大学生都不会犯的错误。。。。我当初之所以那么说一方面是因为我当时没有得到欧拉最初的推导过程以致于我的debugging是针对现代人们推导欧拉方程的方式，尽管从数学本质来说这两者是一回事，但现代的推导是在欧拉等前辈们奠定的基础上反复精炼后的结果所以要容易debugging的多，另一方面也是因为刚体运动是所有理工科都必修的科目，所有的物理学诺贝尔奖获得者与所有著名的工程师应该都学过，很多人不但用过而且还在课堂里讲过，居然在近三百年里没有人看出其中的错误，这让我觉得很无语，所以就在【1】中特别地强调了一下该错误之简单程度。

但另一方面，在了解了欧拉大师在不像我们现在已经有了样板的前提下经过数年的努力才推出该方程之后（而且其间还因为复杂放弃了一个看来应该是正确的版本），我认为有必要出来做一个澄清，一方面是表明我今天之所以会感到比较容易找出刚体力学的欧拉方程中的错误的一个重要原因是上帝为我创造了比欧拉时期便利得多的条件，因此我找出欧拉方程中的错误所面临的难度无法与欧拉当初推导方程的难度相比；另一方面也是让读者了解当初欧拉推导该方程（尽管有错）之令人敬佩。

当然，对于欧拉之后近3百年里的其他人，尤其是当代的学者，尤其是看了贾尼别科夫效应视频之后用Poinsot方法进行分析却看不出其中问题的学者及科普网红们，我仍然感到非常地无语。

荣耀归于上帝！

【[1]】戴榕菁（2025）找到欧拉出错的原因了

[[2]]Marquina, J. E., Marquina, M. L., Marquina, V., and  Hernández-Gómez, J. J. (2017). Leonhard Euler and the mechanics of rigid bodies. European Journal of Physics, Volume 38, Issue 1, pp. 015001 (2017). Retrieved from: https://www.researchgate.net/profile/Jorge_H/publication/309366946_Leonhard_Euler_and_the_mechanics_of_rigid_bodies/links/5a4138f3aca272d294561325/Leonhard-Euler-and-the-mechanics-of-rigid-bodies.pdf

[[3]]Wikipedia. Euler's equations (rigid body dynamics). Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics). Last edited on 22 February 2025, at 23:52 (UTC).

【[4]】戴榕菁（2025）欧拉会犯这样的错吗？