天蓉

人们都说德国数学家高斯是数学王子，你哪来的“数学公主”呀？我说的这位女数学家索菲·热尔曼，其实是与高斯同时代的人物，和高斯还有过一段时间的书信来往。鸿雁传书谈的不是恋爱，而是讨论数学问题，所以，这些事实已经足以封她一个“公主”的称号了。

况且，根据著名诗人歌德《浮士德》中的诗：“永恒之女性，引领我们前进”。这位数学公主在“征服费马大定理”这个358年漫长的历史中，一定程度上引领了数学的进步，值得一书。

一，“勒布朗先生”

索菲·热尔曼（Sophie Germain，1776–1831），比高斯早一年出生，是18世纪法国的物理学家、数学家和哲学家。她是 200 年来第一个在费马大定理上取得重要进展的人，她开创性的弹性理论帮助建造了埃菲尔铁塔。

她出生在一个富裕的巴黎家庭，但其科学之路却非同寻常，十几岁时，她不得不与父母抗争，争取读书的权利。索菲痴迷于数学，尤其是古希腊的理论。在晚上躲着父母手持蜡烛偷偷学习，最后终于感动了父母，后来转而一直在经济上支持她。

18 岁时，城里开设了一所新的技术大学。索菲想去，但因为是女性而被禁止入内。索菲不肯接受拒绝，她用前男学生勒布朗先生的身份写信给大学，要求提供远程学习的讲义。随着课程的进展，她甚至开始用她的新男性名字提交课程作业。她很优秀，但正是这种优秀使她被揭穿！因为如今的“勒布朗先生”与之前的数学技能糟透了而臭名昭著的那个学生判若两人，怎么会有这种惊人转变呢？以至于当时任课程主管的拉格朗日要求与他见面。就在那时，拉格朗日才吃惊地发现勒布朗其实是位女性，他（她）的真名叫索菲·热尔曼。

尽管索菲·热尔曼最终未得学位，但她与当年几位最优秀的数学家（高斯、勒让德等）建立了强有力的师生关系，由此也得知了费马的猜想，使她在这个困扰了数学家几百年的问题上做出了杰出贡献，走出了关键的一步。此外，她开创了振动弹性表面定律的研究，她的精彩而富有洞察力的论文《弹性板振动回忆录》，为现代弹性理论奠定了基础。这使得埃菲尔铁塔的建造成为可能。

图1：索菲·热尔曼的贡献

尽管她成就斐然，但她去世时，死亡证明上却只写着她是一名没有职业的单身女性，而不是数学家。埃菲尔铁塔建成时，这座高耸的建筑上刻有七十二位学者的名字，但在这个名单上却找不到作出贡献的这位才女的名字。

当热尔曼写信给高斯时，她才二十几岁，她担心这位伟人会因为她的性别而不认真对待她。为了保护自己，热尔曼再次使用假名，在信上署名为勒布朗先生。不知道通信者的真实身份的高斯回复道：“我很高兴算术找到了你这样一位能干的朋友。”

如果不是拿破仑皇帝，热尔曼的贡献也许将永远被错误地归功于神秘的勒布朗先生。1806 年，拿破仑入侵普鲁士，法国军队正在一个又一个地攻占德国城市。热尔曼担心阿基米德的命运也可能夺走她的另一位伟大英雄高斯的生命，于是她给她的朋友佩内蒂将军送了一封信，请他保证高斯的安全。这位将军知道这位世界上最伟大的数学家，因此他特别照顾高斯，并向他解释说，他的命是热尔曼小姐给的。高斯很感激，但也很惊讶，因为他从未听说过索菲·热尔曼。

这场骗局结束了。在热尔曼给高斯的下一封信中，她不情愿地透露了自己的真实身份。高斯非但没有对这种欺骗行为感到生气，反而高兴地给她回了信：

“当我看到我尊敬的通讯员勒布朗先生变成了一位杰出的人物，为我难以置信的事情做出了如此辉煌的示范时，我该如何向您描述我的钦佩和惊讶呢？对抽象科学，尤其是数字之谜感兴趣的人极其罕见：人们对此并不感到惊讶：这门崇高科学的迷人魅力只有那些有勇气深入研究它的人才能展现出来。但是，如果一个女性按照我们的习俗和偏见，要熟悉这些棘手的研究，必须比男性遇到更多困难，但她却成功地克服了这些障碍，并深入其中最晦涩的部分，那么毫无疑问，她一定拥有最崇高的勇气、非凡的才能和卓越的天赋。”

后来，高斯曾经说服哥廷根大学授予热尔曼荣誉学位。不幸的是，在大学授予她荣誉学位之前，索菲·热尔曼因乳腺癌去世了。

二，费马大定理

欧拉和费马本人证明了n=3和·n=4的费马猜想。然而，类似的思路在n=5以后走不下去了。索菲·热尔曼认真地考虑这个问题，制定证明该定理的策略。她是第一个采用更为通用的新方法来解决这个问题的人。她的直接目标不是证明对某个特定的n无解，而是制定了一个宏大的计划，企图一步一步地攻克费马猜想。

在热尔曼的策略中，费马猜想（x^p+y^p=z^p对p大于2，没有整数解）被分成两种情形考虑：

情形1：x、y和z都不能被p整除；

情形2：x、y、z中，至少有一个能被p整除。

对素数p，如果2p+1也是素数的话，p便被称为“热尔曼素数”，称2p+1为p的安全数。热尔曼证明了，费马猜想的情形1，对热尔曼素数成立。

索菲·热尔曼的证明不很完整，之后她也没有为证明费马大定理做出进一步的贡献，但其他人在她的工作的基础上继续前进，1825年，勒让德和狄利克雷证明了n=5的情况，1839年，拉梅证明了n=7的情况。因此，热尔曼的工作被认为是理解和尝试解决这个著名数学问题的关键一步。

费马大定理对n=6、n=10、n=14的情形，在19世纪也陆续被证明，不过，这些偶数指数的证明方法与奇数指数方法不同。

三，热尔曼素数

热尔曼素数p被条件“p和2p+1都是素数”所定义。例如，5是热尔曼素数，因为11（2 x 5 + 1）也是素数。但13不是热尔曼素数，因为27（2 x 13 + 1）不是素数。

小于1200的热尔曼素数列于下：

热尔曼素数，除了当年用于研究和证明费马猜想之外，自身也成为素数的一个研究课题。比如，尚不清楚是否存在无限数量的索菲·热尔曼素数，这形成又一个猜想。也有人研究热尔曼素数的分布如何？等等。

至2016年，已知最大的热尔曼素数是

是一个388342位数。

热尔曼终身未婚，毕生思考数学、物理、和哲学问题，她的两部哲学著作《多样的思想》和《关于科学和文学以及不同文化时代的一般考虑》均在她死后出版。

热尔曼拥有数学天赋，但由于她所受的教育杂乱无章，缺乏严格的正规数学训练，这种天赋未能得以完美实现。也有人认为正是因为她缺乏训练，才赋予了她解决问题时独特的见解和方法。

参考资料：

【1】https://en.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain#External_links

【2】Weisstein, Eric W. "Sophie Germain Prime." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html

【3】"Sophie Germain." Famous Scientists. famousscientists.org. 18 Jun. 2017. Web. 9/7/2024

<www.famousscientists.org/sophie-germain/>.