天蓉

椭圆曲线不是“椭圆的曲线”，椭圆函数也不是·“椭圆的函数”。

图1：椭圆函数的来龙去脉

增加一篇，介绍椭圆函数，魏尔斯特拉斯 ℘ 椭圆函数^【1】等，椭圆函数诞生的历史，精彩而有趣，不可不知。

1，椭圆积分

我们讲过椭圆曲线，以及它们定义在不同的域上的性质，此篇感兴趣的是椭圆函数。但是，有关“椭圆”的名词很多，首先将它们梳理清楚，以免混淆。所以，我们首先从圆和椭圆的比较，先引进椭圆积分。

椭圆，人人都熟悉，也很容易理解它们和“圆”的异同之点。从数学上也是很容易类比的：“圆”只有一个半径r，“椭圆”有两个参数a和b；“圆”是到一个定点距离相等的轨迹；“椭圆”是到两个定点距离和相等的轨迹。它们的面积公式也长得很像：“圆”的面积=Pi*r*r；“椭圆”的面积=Pi*a*b。

不过，到了计算圆和椭圆的周长时，这种类比法就有点进行不下去了。你看，圆的周长是Pi*(r+r)；那么，椭圆的周长是不是就等于Pi*(a+b)呢？这是古人使用的公式，但数学家们发现它只是一个近似。即使后来拉马努金“随口蹦出”了另外一个准确多了的公式，但仍然是近似！

数学家们总有办法，他们说，没问题，我们可以用微积分求弧长再算周长呀，那就试试吧。但是，这个“椭圆弧长的积分”好像算不出来哦，因为好像无法用初等函数表示它。有人不相信，例如大名鼎鼎的法国数学家勒让德（Legendre，1752—1833），据说他一直固执己见，研究了40年也没将它表示为初等函数！不过也不能说勒让德是完全白费功夫，勒让德起码明白了这种类型的积分不仅仅出现在计算椭圆弧长的过程中，还有很多很多其它的地方。例如瑞⼠数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在1694年研究受挤压的弹性杆时发现了一种更为简单的双纽线的弧⻓积分，也算不出来（图2左），后来⼜发现了更多与它们形式相近⽽且也找不到初等函数的积分。

勒让德潜心研究这些积分，心想，管它与椭圆有⽆关系，就把它们统称为椭圆积分吧，勒让德将它们分成三类，建⽴了椭圆积分的理论，见图2右。

图2：椭圆积分

2，椭圆函数的诞生

数学上早逝的天才太多了，十九世纪初，前后就有两位著名的帅哥，二十几岁就命丧黄泉，令人扼腕，令人遗憾！伽罗瓦（Galois，1811—1832）是好歹不分，误入一场莫名争端而决斗，可归于“自杀”类型；而另一位尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel，1802- 1829），则是命中多舛，霉运连连。

首先，阿贝尔投胎到了挪威是第一个错误，这在现在是无所谓的事情，但两百多年前不一样。那个年代，有名的数学家不是在法国就是在德国（图3），一个挪威无名之辈的文章，寄到了勒让德、柯西，甚至于高斯手里，都是看都不看就被束之高阁，甚至被抛进了废纸箱！唉，这世道太不公平，千里马问世了，却不知伯乐何在？

图3：与椭圆函数有关的数学家们

 一般都说阿贝尔死于贫病交加，但他凭借在挪威的名气，也得到奖学金到过法国德国等地，只能说又是因为运气不好，关键人物一个也没见到。此外，毕业后一时没得到教职，这在如今也是常见之事，倒霉的是老天不容英才！正是阿贝尔在法国游学时感染的肺结核，使他一命呜呼撒手人寰，无法见证两天之后才传来的迟到了的好消息：他已经被德国柏林大学聘为了教授！

阿贝尔短暂又可怜的27年生命，却开拓了几个重要的数学研究方向，椭圆函数^【1】是其一。后来，德国数学家雅可比（Jacobi，1804—1851）继续，因此雅可比被广泛认为是椭圆函数理论奠基人。阿贝尔死后，巴黎科学院也找到了他的重要文章并发表，又颁发了大奖给阿贝尔和雅可比。家人代为领奖时，只能再次遗憾为时晚矣！

回到帅哥的数学，椭圆函数是什么呢？它们是椭圆积分（图2）定义的函数的逆函数。你会说：哇！这句话听起来这么拗口，更难说怎么去理解它了。但是，其实你把它与反三角函数对照一下就明白了。不要看图2右边的复杂公式，只看左下的双扭线公式，那是最简单的椭圆积分例子。

图4：椭圆函数

图4中的第一个积分式表示的是反正弦函数，那么，它的逆函数当然就是正弦函数。图4中的第二个积分式表示的是椭圆积分，我们不知道它是个什么东西，但是如果说到它的逆函数，就可以和第一个积分式类比一下了。因此，椭圆函数就是椭圆积分的逆函数，就有点像正弦函数了。

正弦、余弦这样的三角函数是我们再熟悉不过的东西，上面的类比使我们对椭圆函数有了一点亲切感。实际上，在数学家的眼睛里，椭圆函数比三角函数有趣多了，美丽多了。阿贝尔和雅可比两位天才分别独立地认识到了这一点。

为什么说它们和正弦函数有点像呢？正弦函数是周期函数，椭圆函数也是，并且还是更为有趣的双周期函数。因为有两个周期，就不能像正弦函数那样在平面上画出来了，但是可以在复数平面的周期格点上形象地表示出来。

3，魏尔施特拉斯椭圆函数

与谷山-志村猜想有关的是魏尔斯特拉斯℘ 函数^【2】。

魏尔施特拉斯（Weierstrass，1815—1897）是位颇有特色的德国数学家，被誉为“现代分析之父”。他为人低调，做数学却十分严谨。他原来是位乡村教师，他对数学的一个重要贡献是给函数的极限建立了严格的定义。读者可能还记得刚学微积分的时候，那个对极限的定义，绕口令似的epsilon-delta说法，就是魏尔施特拉斯的功劳。此外，他对一位俄国女弟子的赏识令人称道。

图5：魏尔施特拉斯℘函数

魏尔斯特拉斯椭圆函数是一种具有特别形式的椭圆函数。这类函数也称为 ℘ 函数，通常用符号 ℘ 表示，它们是双周期的亚纯函数。℘ 函数及其导数可用于参数化椭圆曲线，它们会生成关于给定周期格子的椭圆函数域。

在图5中，左边图像是复平面上的周期格点，淡蓝色平行四边形表示基本区域，公式（1）是℘函数的表达式；公式（2）是℘函数及其微分满足的方程；公式（3）是℘函数描述的对应的椭圆曲线的代数形式。图6是℘函数的可视化图像表示。

图6：℘函数的图像

参考资料：

【1】https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_function

【2】Wolfram MathWorld ：Weierstrass Elliptic Function

https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html