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《你所不知道的狭义相对论》 第II部分,狭义相对论专题 第1章、运动学基本问题(完整版)
送交者:  2018年01月18日20:53:26 于 [世界军事论坛] 发送悄悄话


《你所不知道的狭义相对论》


II部分,狭义相对论专题


第1章、     运动学基本问题

acarefreeman2018119日星期五北京时间0时51分首次发表于世界军事论坛

本章导读:

l  长度会在惯性运动中收缩吗?时间会在惯性运动中膨胀吗?空间与时间究竟像牛顿所认为的那样只为任何物理现象的发生提供一个独立的时空背景,还是像爱因斯坦所认为的那样是相对运动可以影响甚至改变的对象?本章的1.1节在阐明统一的空间尺度与普适的时间尺度乃是经典力学与狭义相对论(所默认的)共同的理论前提的同时,也为以上问题提供了一个简明的答案;不难理解,统一的空间尺度排除了长度在惯性运动中收缩的可能,而普适的时间尺度则在排除时间在惯性运动中膨胀可能的同时,也排斥了狭义相对论专家所引以为豪的相对的同时性。

l  运动最基本的属性是什么?是它的相对性吗?如果运动是纯粹相对的,那为何人们却声称一对时钟之中做匀速直线运动的那只会变慢,而不是它静止的同类?如果相对性真的是运动最基本的属性,那这相对性又究竟意味着什么?特别地,狭义相对论承认这样的运动相对性吗?本章的1.2节与1.4节详细回答了以上以及其它一些与运动相对性密切相关的问题,并特别指出:就相对性作为运动最基本的属性而言,经典力学从形式到内容都承认并接受这样的运动相对性,而狭义相对论虽名义上承认运动的相对性但实质上却完全拒绝了它。

l  当你谈论物体的运动或运动速度时,你可曾细想或认真推敲这其中的含义?比如你究竟是指物体的头部在运动呢,还是指其尾部或中部在运动?抑或你是指物体作为一个整体在运动?如果是指物体作为整体在运动,那么这“整体的运动”又是什么意思?特别地,如此整体的运动与经典的波动究竟有无或有哪些可比之处?以及如此整体的运动又有什么样的重要物理后果?等等;对此,本章的1.6节首先阐明:刚体做匀速直线平动的实质是构成该刚体的所有质点在做既同步又同速的直线运(振)动,这样便对物体运动的一体性或整体性从一个特定的角度做了深入的刻画;接着1.7节又论证了:如此运动可以被视为具有某种极限特征的经典波动,原因是它在刚体运动方向上所诱发的相速总是处处等于无穷;最后,1.8节又特别指出:基于上述特征的刚体运动可用于实现两只异地时钟之间绝对的同时性。以上所有这些内容事先在1.3节中被总结成为一个叫做运动学基本原理的东西,这个原理的成立又一次不仅从理论上而且从实践上排除了狭义相对论相对的同时性以及所谓的钟慢效应成立的可能。

l  空间的度量与时间的度量这二者之中哪一个才是更基本或更优先的概念?如果是空间,那为何某些相对论专家却声称空间的度量有时会不可避免地涉及时间的度量?如果是时间,那请问什么样的时间度量可以完全不受空间度量的制约?本章的1.4节指出并论证了:由于刚体长度比较原理直接决定了绝对同时性的成立,从而在某种意义上这也就决定了空间度量乃是比时间度量更基本也更优先的概念,这不仅再次否定了狭义相对论相对的同时性,而且也否定了某些狭义相对论专家在物体长度度量问题上混入相对的同时性等时间度量问题的错误认知与做法。

l  如所周知,伽利略变换是经典力学的基石之一,事实上,人们对它如此司空见惯以致于会相信自己对它的了解应该已经至深或至全,但这不幸地不是事实;仅举一例:伽利略变换的空间分变换x’=x-vt与其时间分变换t’=t是逻辑上两个彼此独立的变换吗?对此绝大多数人可能会相信或至少默认如此,但本章的1.4节与1.5节对此做出了完全否定的回答;事实上,伽利略变换的空间分变换的成立必然意味着其时间分变换随之成立,而更加不幸的却是,伽利略空间分变换同时也是狭义相对论的一个基本理论前提,这就直接导致了这个理论的洛伦兹变换事实上被剥夺了任何可能的生存空间;然而洛伦兹变换之所以不能成立其实还有另外更多甚至更有说服力的理由,只是这些不巧已经超出了本章的讨论范围,对此请参阅本书的“洛伦兹变换”一章。

l  从遥远的古代到现代的今天,从专业科学研究再到人类的日常生活,同步概念的使用似乎一直都是一个人们习以为常的话题,但读者自己可曾对此进行过系统而深入的思考?本章的1.8节、1.9节以及1.10节指出并论证了:经典的同步概念事实上即是所谓的绝对同时性,而断言某种同时性为绝对的同时性,或者声称在它所从属的计时系统下所有的时钟都是无延时同步运行的,或者指出实现该同时性的是相速为处处无穷的对时信号,或物理上等效于如此,或者肯定该同时性是自洽的,或者确认该同时性与坐标同时性或刚体运动同时性等价,所有这些说法在逻辑上都是等价的;而同时性相对于参照系选择的独立性,亦即它的成立与坐标系的选择无关这一性质,只是以上这些等价命题的必要但却不充分的条件。

l  相对的同时性曾被爱因斯坦誉为狭义相对论发现过程中的一个关键性突破,而一百多年来主流物理学家尤其是狭义相对论专家也对此津津乐道;但这种同时性真的经得起推敲吗?比如它自洽吗?它可用吗?特别地,如果相对的同时性真的像专家所长期声称与媒体所极力宣传的那样是天才的科学发现,那么如此同时性不是应该成为现代科学研究甚至人类日常生活中时间计量的理论与技术基石吗?本章的1.9节与1.10节指出并论证了:事实却恰好相反,相对的同时性不仅理论上不自洽,而且实践上不可用;事实上,经典的同时性亦即绝对的同时性不仅是唯一自洽的同时性,而且它也是现代天文学、现代天体力学以及现代卫星定位与导航理论中所唯一使用的同时性。有关相对的同时性的更加系统而深入的研究,请参考本书“相对的同时性”一章。

l  时间的度量必然涉及时钟,这是尽人皆知的道理;但制约时钟运行的究竟都有哪些基本原理?对此则未必人人说得清楚。本章的1.8节指出:这样的时钟运行机制基本原理有两个,再外加一些辅助性原理。首先,空间的均匀性与各向同性决定了同一惯性系内位于不同空间坐标点处所有构造与性能完全相同的理想时钟都将按照同一速率而运行;其次,相对性原理的成立则决定了处于不同惯性系内所有构造与性能完全相同的理想时钟也将按照同一速率而运行,这便是有关时钟运行机制的两个最基本原理;不过,这些基本原理只有跟另外一些辅助性原理如时间均匀性流逝原理与时钟快慢机制对称原理以及针对时钟的各种同步调节方法相互结合,对时间的性质及其度量等问题才能理解得深入或全面。

l  有人可能会问:既然运动是纯粹相对的,那么声称太阳在围绕着地球运动(如托勒密的地心说)与声称地球在围绕着太阳运动(如哥白尼的日心说)应该没有任何实质性区别,但现代天文学与天体力学却拒绝了地心说而有保留地接纳了日心说,这究竟是为什么?本章的1.2节与1.4节指出,运动的相对性不只是仅有一层含义;事实上,运动的相对性可以完全局限于相对运动的本身来讨论,也可以针对运动所从属的物理规律或者运动所可能带来的物理效应来考察,前者虽然意味着所涉及的两个参照系的对称与地位平等,而后者则常常意味着局部优越参照系不可避免的引入,亦即所涉的两个参照系的地位未必完全对等,对此更详细、更深入的讨论可见本书“理论物理中的对称性问题”与“相对性原理”等有关章节。

l  牛顿曾说:“绝对、真实以及数学的时间,就其自身而言,亦即不需参照任何外部事物,总是均匀地流逝着”,他又说:“绝对的空间,就其自身的属性而言,亦即不需要参照任何外部事物,总是均匀并且不动的”;然而一百多年来牛顿的以上说法一直饱受主流物理学家的诟病,但普通人却很少会质问:到底是牛顿真的错了,还是他的批评者的论据有瑕疵?本章的1.10节特别指出并论证:虽然牛顿对时间与空间的以上表述不无可挑剔或值得商榷之处,但他对时间本质的刻画却代表了在他以前以及自他以来截至目前人类在此问题上最接近真理的理解与认知;至少,就全部已有的核心科学证据而言,大自然在宏观乃至宇观尺度是无可置疑地偏爱牛顿的。

l  还有人可能会问:你在本章的导读中列举了这么多出人意外(但在情理之中吗?)的结论,那么是不是你的书中还有更多这样的内容?回复:不只是有更多这样的内容,而且相信是更加出人意外乃至令人震惊的内容;但不幸地,不是每人都有面对并接受真理或事实的勇气与素质,更不用说不带偏见地去探索它们的智慧与能力了;不信,您可以拭目以待。

本章目录

1.1 运动学总前提

1.2运动的基本属性

1.3运动学基本原理

1.4运动的相对性

1.5 伽利略时空坐标变换

1.6 刚体运(平)动的实质

1.7刚体在运动方向上所诱发的相速

1.8时钟运行机制与实现两只异地时钟同步运行的原理与方法

1.9几种同时性的定义、其基本性质以及相互关系

1.10同时性的自洽性以及它关于参照系选择的独立性

1.11 本章小结

 

1.1 运动学总前提

由于运动总是发生于具体的空间背景与时间背景之下,而且更重要的,由于运动的度量乃是以空间的度量与时间的度量为前提与基础的,比如速度就等于物体的位移关于时间的变化率,所以我们有:

命题1.1.1(运动学总前提):在探讨两个物体O’O之间的相对运动问题时我们总是默认有两个刚体坐标系,比如叫做O’X’OX,在整个相对运动过程中分别跟O’O固连在一起,这实质上意味着O’O以及它们所在的坐标系有了一个统一的空间度量标准;同时我们还默认了,在整个相对运动过程中存在唯一的时间变量,它普遍适用于两个坐标系以及每一坐标系的任一坐标点处,这实质上又意味着O’O连同它们所在的坐标系有了一个普适的时间度量标准。所以,一个统一的空间度量标准与一个普适的时间度量标准的并存便是我们研究一般运动学问题的总前提,并且在逻辑等价的意义上这一点不仅对经典力学成立而且也对狭义相对论成立,而审视并确认这个总前提的理论与现实依据也正是“运动学基本问题”这一章的核心目的之一。

评注1:之所以说这里的空间度量标准是统一的,这不仅是因为所采用的均为刚体坐标系,从而运动甚至受力不改变空间任意两点之间的距离,而且也是因为我们默认了可以将这两个坐标系之内的相关长度进行直接对比这一基本前提。这里的刚体假设虽然便于建立相关结果并理解相关问题,但其实它是不必要的,因为我们真正需要的是物体在相关运动比如匀速直线运动中不变形的性质,而满足这一性质的通常并非只有刚体,我们稍后还会对此进行更细致的分析。

评注2(续评注1):事实上,统一的空间度量标准不仅仅是一种理论假设,它经常还是直白的现实,比如列车驶离车站时列车与车站之间的相对运动便可用而且通常也仅用地面这个刚体参照系作为二者共同的空间度量标准与参照背景,所说的这个刚体参照系叫做地心地固系(Earth-centeredEarth-fixed frameECEF)。不仅如此,当以上所说的共同的刚体参照系背景作为真实的物理实体并不存在时,物理学家为了研究问题的方便通常还设想出这样的参照系,比如在利用绕地卫星对地面及其附近的目标进行定位与导航时便以地心惯性系(Earth-centered inertialECI)作为卫星与地面目标共同的刚体参照系背景;又比如在地球与金星之间进行雷达测距时便以太阳系质心参照系(Solar system barycenter inertialSSBCI)作为太阳系内所有天体共同的刚体参照系背景,等等。所以,虽然引入两个刚体坐标系常常有助于相对运动问题的理论探讨,然而更现实同时也更常见的做法是直接使用单一的空间度量标准;当然,单一即意味着统一。

评注3:这里着重指出,刚体坐标系不仅是经典力学的基本前提,同时它也是狭义相对论的基本前提;关于前者,伽利略变换的导出与普遍使用就是明证之一,关于后者,狭义相对论中的此类刚体证据则不胜枚举。比如有关狭义相对论的经典文章【Einstein1905】谈及刚体、刚体度量标准以及刚体坐标系的场合便有(关键词:“rigid”):引言的最后一段,两处;第一节的开头附近,一处;第二节在光速常数原理的表述之后以及该节大约中间,各一处;第三节的第一段,两处;第四节的标题里一处以及该节开头附近的另外三处;第九节开头附近,一处;不仅如此,该文在第三节开始后不久还明确引入了与刚体假设在逻辑上等价的伽利略变换(表达式:“x’=x-vt”)。又比如相对论著作【Einstein1920】的狭义相对论部分关于刚体、刚体性质以及刚体坐标系的内容有不下三十处,这里仅列举该书的第一、二节的几处:第3页谈及刚体上任意两点之间定义了一个距离,该距离不因刚体空间位置的变化而变化;第5页与第8页还谈到,为了确定事件发生或物体所处的地点,必须:A、引入刚体坐标系,B、假定欧氏几何是适用的(:此即默认了刚体度量标准),C、刚体长度的比较或度量是通过把其中一个刚体叠加于另一刚体而实现的。可见诸如此类刚体及其性质、刚体坐标系以及刚体度量标准的内容,多见于狭义相对论。综上,狭义相对论以刚体与刚体坐标系作为其理论前提是一个无可辩驳的事实,而这个理论也像经典力学一样接受或至少默认统一的空间尺度为其理论前提这一事实同样不容置疑。

评注4:虽然狭义相对论并没有把普适的时间度量标准明确地列为这个理论的基本前提,但是它却毫无异议地默认了在“动系”与“静系”之间有唯一确定的相对运动速度v;参见【Einstein1905】第二、三节或【Einstein1920】第五、六节等相关内容,而这一事实与统一的空间尺度的结合便直接意味着普适的时间尺度的存在,本章的1.4节对此结论有一个正式论证,但这里我们先给出一个非正式分析如下:事实上,不管是经典力学还是狭义相对论,其所讨论的都是两个物体之间的相对运动,而相对运动作为物体之间的一种瞬时相对位置关系只是一个被描述的对象,不是两个,因而在统一的空间度量标准的前提下这个相对运动也只能产生于一个时间背景之下,亦即描述它的只能是一个时间变量,不是两个,否则在统一的空间尺度与两个不同的时间尺度下将有两个不同的相对运动或相对运动速度成为被研究或描述的对象,而这与相对运动的概念以及相关的人类经验直接矛盾。既然在相对运动的概念与前提下只可能有一个时间变量,那么该变量普适于所涉的两个参照系以及每一参照系的任一坐标点处这一点便不言自明,再联系此前所说的狭义相对论以统一的空间尺度为前提一事,这就是为何我们在本章导读中声称“统一的空间尺度与普适的时间尺度乃是经典力学与狭义相对论(所默认的)共同的理论前提”的缘故。但另一方面,我们又知道狭义相对论允许处于相对运动状态的两个不同的观察者拥有不同的时间尺度,如“静系”的时间尺度t与“动系”的时间尺度t1-v2/c2),其中v为两个观察者之间的相对运动速度,c为光速常数;不仅如此,如上所述,不同的时间尺度的存在还导致了相对运动速度这一基本概念在这个理论中实质上被否定,正因为如此,我们才在本章导读中断言,“狭义相对论虽名义上承认运动的相对性但实质上却完全拒绝了它”。

评注5:总前提中“(这唯一的时间变量)普遍适用于两个坐标系以及每一坐标系的任一坐标点处”这一说法逻辑上等价于以下两个命题的同时成立:1、存在构造与性能都完全相同的理想时钟,它们分布于所涉的每一坐标系的任一坐标点处;2、不管是同一坐标系内的所有时钟还是跨坐标系之间的所有时钟,它们都按照经典的同步概念进行调节与运作;更多细节可参见本章的1.8节。

评注6:表面上,统一的空间标准与普适的时间标准是两个假设,但其实二者逻辑上并不独立,因为后者只是前者的推论,参见本章的1.4节与1.5节;据此可知,只要狭义相对论以统一的空间度量标准为其理论前提,则它必然也以普适的时间度量标准为其前提,所以,总前提中“并且在逻辑等价的意义上(统一的空间度量标准与普适的时间度量标准的并存)这一点不仅对经典力学成立而且也对狭义相对论成立”这一命题又从不同的角度得到了确认。

评注7:既然如前所述,狭义相对论与经典力学有着某些共同的理论前提,那么为何这些前提会导致两个完全不同的理论呢?或有读者会有上述疑问;事实是,在(1)刚体、(2)运动的相对性这两个被二者所共同拥有的理论前提之外,狭义相对论还有多个别的前提,如(3)空间的均匀性、(4)相对性原理、(5)相对的同时性、(6)光速常数原理等以及(7)两个参照系之间更一般的彼此对称性(:比如包含于这个理论的洛伦兹变换内的那种),这里的(3)、(4)两个前提其实也为经典力学与狭义相对论所共有,但(5-7)这三者却是为狭义相对论所独有的理论前提,所以不难理解或想象,相对的同时性、光速常数原理以及更一般的对称性要求应该是导致这两个理论产生分歧的最重要原因;但问题是,前提(1-4)与前提(5-7)兼容吗?其次,前提(5-7)有各自成立的严格的理论与实验根据吗?最后,前提(1-7)的同时成立将会带来哪些突出或严重的物理后果?这些后果又有无严密可信的实验证据的支持?所有这些都将是本书以及本章的其余诸节所准备讨论与回答的问题;但在此之前,先让我们深入探讨一下刚体与运动的相对性这两个为经典力学与狭义相对论所共享的基本理论前提究竟意味着什么,而如前所述,我们将会有一些令人吃惊的发现。

 

1.2运动的基本属性

在讨论运动或与运动有关的问题时我们会经常谈及运动的相对性,但有证据显示,不论就运动相对性的内涵还是其意义或后果都存在一定的误解乃至争议,所以我们有:

命题1.2.1(运动的基本属性):两个物体O’O之间的相对运动总具有运动的相对性,即对O’O以及二者分别所在的两个刚体坐标系而言,存在一个统一的空间尺度与一个普适的时间变量,使得在二者相对运动过程中的每一时刻都有O相对于O’的(瞬时)运动速度v’O’相对于O的(瞬时)运动速度v大小相等、方向相反,即v’= -v

评注1:运动的相对性不止以上所说的一种意思,事实上,它至少可以有以下几层意思:1、运动只有一个物体相对于另一个物体才可以定义,即单独一个物体无法定义运动,所以在这个意义上运动是相对的,亦即“相对”乃意味着物体之间的相互关系;这个含义再稍微引申一下即是,处于相对运动状态的两个物体能且只能定义一个相对运动速度大小,而不可能各自有各自的运动速度;2、如命题1.2.1“运动的基本属性”中所定义的运动相对性,即在统一的空间尺度与普适的时间尺度的前提下,于相对运动过程中的任何一刻O相对于O’的运动速度与O’相对于O的运动速度这二者之间总具有(反)对称关系v’= -v3、处于相对运动状态的两个观察者O’O除(1)、(2)中所说速度对称性之外是否还具有更一般的地位对等问题,比如,如果假定在O看来O’所携带的时钟变慢了,那是否也应该推断出,在O’看来O所携带的时钟变慢了,等等;4、某些由运动所衍生的物理现象关于这运动是否具有对称性的问题,如磁铁与导体线圈之间的电磁感应问题,即在相对运动速度一样的前提下,磁铁运动而线圈静止与磁铁静止而线圈运动这两种情况所产生的感应电流是否相等的问题,或者在电荷与磁力线相切割这一前提下电荷运动而磁场静止与电荷静止而磁场运动是否会产生同样的洛伦兹力的问题,等等;5、在匀速直线运动的前提下,运动会不会产生可以探测的物理效应问题;如人类生活在公转着的地球上但却感受不到它的公转运动,且地球上的所有实验也无法显示这样的运动,此即所谓的相对性原理的成立,意思是说,运动没有绝对意义,因而物体的运动状态不可能简单通过它自身产生的物理效应而揭示出来。所有这些可以归类为运动相对性的问题将在本章以及本书的其它章节逐一进行探讨。

评注2:由于作为运动基本属性的相对性以统一的空间尺度与普适的时间尺度为前提,所以理论上它直接排除了以下可能:A、狭义相对论尺缩效应,即所谓“运动”的直尺比其“静止”的同类要短;B、相对的同时性,即狭义相对论专家所声称的“运动”观察者与“静止”观察者可以拥有不同的同时或同步概念;C、狭义相对论钟慢效应,即所谓“运动”的时钟比其“静止”的同类要走得慢;然而更重要的却是,我们将在本章其余部分以及本书的其它章节看到,尺缩效应、钟慢效以及相对的同时性其实各有自身不能成立的理由。

评注3:这里虽然把运动的相对性作为一个基本属性,但正如命题1.2.1所暗示的那样,其实它还可以从更基本的原理或前提推导而出;参见本章的1.4节。

评注4:运动的相对性是包括匀速直线相对运动在内的所有运动形式都具有的基本属性,但在论证这一点时我们将主要针对匀速直线运动而进行;更一般情况下的运动相对性可以通过匀速直线运动情况下的结论与数学上的极限概念相结合而得到。

评注5:正如命题1.2.1以及评注1所指出或暗示的那样,运动的相对性这一术语往往有具体所指,而且可以有多种不同的含义,如果忽视了这一点而试图把抽象的运动相对性概念应用于所有场合,便很难不犯错误;这里谨提醒读者:虽然作为运动最基本属性的运动相对性总是成立的,但不是评注1中所说的所有运动相对性含义都是成立的;以地球围绕太阳的公转为例,根据运动的相对性,当然也可以认为太阳是在围绕着地球转动,而这也的确是生活在地球上的人类的直接感受,所以就运动最基本的属性而言,说地球在围绕着太阳运动与说太阳在围绕着地球运动都是可以接受的;可既然如此,现代科学家为何又要抛弃托勒玫的地心说,却有保留地接受哥白尼的日心说呢?原来,这个已经不属于纯粹的相对运动问题,它所涉及的是问题中的两个参照系是否具有更一般的地位对等问题,或者叫做优越参照系问题,此时更多的物理规律必须考虑其中,而不是简单的运动相对性或对称性问题。本书将有专门的章节来探讨各种运动相对性(对称性)。

评注6:如前所述,作为运动基本属性的相对性在狭义相对论中是被接受或默认为其理论前提的,但这个理论的某些物理后果如“动系”与“静系”所拥有的不同时间尺度却导致了这种相对性实际上又被完全否定了。值得注意的是,狭义相对论在实质上否定运动最基本的属性的同时,却又不加审视地接受了相对运动所带来的其它种种物理效应的对称性,并默认这种对称性为一般的科学规律;相关细节可参见本书的有关章节。

 

1.3运动学基本原理

为了把握刚体运动的实质,同时也作为本章一些核心内容的总结,我们有:

命题1.3.1(运动学基本原理):刚体做匀速直线平动的实质是构成该刚体的所有质点在做既同步又同速的直线运(振)动;特别地,如果该刚体在运动方向上的尺寸非零,则它在该方向上所诱发的相速处处等于无穷;以上内容不仅是经典同时性的理论基础,而且也是实现这样同时性的现实的时钟对时方法,于是时间与空间只是运动所赖以发生的独立背景,而不是它所能影响或改变的对象。

评注1:该原理原则上可以推广到刚体转动的情况以及存在万有引力场的情况,只是一些措辞可能需要修改或润色;对此,相信读者可以从本书的1.8节得到一些有益的启示。

评注2:该原理不仅适用于刚体,而且原则上也适用于在相关运动如匀速直线运动或匀速圆周运动条件下以及在万有引力场存在的前提下具有保形能力的一般物体。

评注3:命题中所说的经典同时性亦即绝对的同时性,其实它还可以设想为狭义相对论相对的同时性当光信号的传播速度c趋向于无穷时的极限情况;更多细节可参见本章的1.8节。

评注4:由于所说经典同时性的实现不依赖于任何传播速度为有限的波动信号如光、声等,因而它避免了狭义相对论相对同时性的可能缺陷与错误,其中是否具备自洽性是区别两种同时性的最重要特质。关于自洽的同时性,参见本书的1.10节。

评注5:该“运动学基本原理”是本章稍后几节一些重要命题的总结,故其证明可分别见于这些命题,它们包括:命题1.4.1或命题1.6.1a、命题1.7.1a、命题1.8.5以及命题1.6.2等。

评注6:本章1.1节的运动学总前提、1.2节的运动的基本属性(相对性)以及1.3节的运动学基本原理,它们只是从不同的角度并以不同的方式表达了本质上相同或类似的内容;事实上,所有这些内容的基础与核心是即将引入的刚体长度比较原理,而这原理另一个等价表述叫做刚体平动原理,即命题1.6.1a;有关细节可参见本书的稍后几节。

 

1.4运动的相对性

为了以尽可能清晰、简洁以及有说服力的方式来建立与理解运动的相对性,我们首先需要一个有关刚体长度比较的基本原理作为前提;其次,由于运动学总前提、运动的基本属性(相对性)以及运动学基本原理这三部分内容本质上逻辑等价,所以从更基本的前提来建立运动的相对性也是理解全部三者的重要方式;最后,细而分之,这里的运动相对性包括了距离的相对性、运动速度的相对性以及二者之间的关系等内容,但在不做附加说明的前提下,我们将把运动速度的相对性作为运动相对性的默认含义。

命题1.4.1(刚体长度比较原理):沿着同一直线、同一方向放置但处于相对运动状态的两个刚体直线段A’B’AB长度相等的充分必要条件是端点A’A的重合和端点B’B的重合是逻辑等价命题。

评注1:如果把所说原理理解为不证自明的真理,那么对它正式的论证当然是不必要的,或者也许是难以成功的;话虽如此,一个简单的说明应该是有益的:假定长度相等的两条刚体直线段A’B’AB沿着同一直线、同一方向放置,并从最初不同的空间位置滑向同一空间位置以便进行长度比较,于是可知,由于两条线段共线且同向、同长,则当它们的端点B’B在运动中重合时将自动意味着其端点A’A的重合,反之亦然;从而端点A’A的重合和端点B’B的重合在逻辑上等价。另一方面,如果两条刚体直线段A’B’AB沿着同一直线、同一方向放置,并从最初不同的空间位置滑向同一空间位置以便进行长度比较,虽然我们暂不掌握二者的长度信息,但是我们却知道当B’B在运动中重合时即可自动推知A’A重合,反之亦然,则我们可以断言两个刚体直线段是等长的。

评注2:由于逻辑上等价的两个命题本质上乃是同一个命题,因此所说原理中A’A的重合和B’B的重合这两个事件在任何计时方法中都能且只能赋予同一个时间变量数值,否则不仅计时方法的自洽性将遭到破坏,而且那些涉及计时需要的其它物理规律或过程也将被扭曲;所以,评注1中“当它们的端点B’B在运动中重合时将自动意味着其端点A’A的重合”及其类似说法理应是指所说的两个事件为经典意义下绝对的同时。

评注3:由于该原理的表述不涉及其中的两个刚体直线段之间的相对运动速度,于是可知它的严格成立实际上意味着有待比较的两个刚体直线段之间的相对运动速度是一个与原理的正确性无关的因素,这就直接排除了像狭义相对论所做的那样为两个刚体直线段所在的不同参照系赋予不同时间变量的可能性;不仅如此,这一结论还可以从A’A的重合或B’B的重合都只涉及同地同时问题这一观察视角而得到确认,亦即A’A重合的时刻必定是A’所在参照系与A所在参照系共同认定的结果,不是A’有一个时间尺度而A却有另外一个时间尺度,同理,B’B的重合也是如此,从而狭义相对论异地相对的同时性问题根本不可能涉及其中;有关这一看法的更多细节,参见本章的命题1.10.3以及其后的评注。这样,我们又一次印证了以上评注2的内容。

评注4:如前所述,所说的刚体长度比较原理暂且可以理解为一个先验性的真理,但稍后其实我们还会看到,在运动学的一些最基本的前提或假设下我们可以推导出与该原理内容类似的命题,比如这个原理逻辑上还等价于以下的“刚体平动原理”:一个刚体以速度v做匀速直线平动等价于构成它的所有质点都在做同步又同速的运动。:这里“同步”是指经典意义下的同步,“同速”是指其速度均为v

评注5:此前我们已经看到,稍后也将继续看到并深入领会,原理中所说端点A’A的重合和端点B’B的重合在逻辑上等价乃是断言这两个异地事件的发生为经典同步亦即绝对同时的又一方式,于是刚体长度比较原理决定了空间是比时间更基本、更优先的概念,因为长度的比较决定了任何计时方法都必须优先满足的绝对同时性这一先决条件。

在讨论距离的相对性之前,让我们先回顾一下经典力学的距离概念:

定义1.4.2(瞬时相对距离,简称相对距离或距离)做匀速直线相对运动的两个物体O’O之间的瞬时相对距离是指夹在它们之间的刚体直线段OO’的长度。

评注1:显然,两个物体O’O做匀速直线相对运动的过程即是它们之间的瞬时相对距离连续变化的过程,请注意在对相对运动的经典描述中,我们会说在任一指定时刻tO’O之间的距离d为多大,而之所以能够这样做,乃是因为我们已经明确接受或者无意默认了经典力学中特定的计时方法以及与之相伴随的时间与同时性概念,但是狭义相对论专家却声称位于不同参照系内的观察者可以拥有不同的同时性概念以及不同的时间尺度,于是为了回应这些专家对本节稍后有关运动相对性论证的任何可能质疑,我们必须找到一种不仅从形式上而且从内容上明确避开时间概念的对相对运动的替代描述方式,而以上所说的以距离数值的连续变化来代替把运动当做一个时间过程,便是一条将被证明完全可行的思路。有读者可能会有疑问:那“距离数值的连续变化”不是仍然涉及时间吗?从某种意义上讲,的确如此;其实,不仅是相对运动,任何物理现象的发生、发展以及变化显然也都涉及某种泛义的时间概念,而之所以会如此,乃是因为或者由于个人直接的感性经验,或者由于思考、学习的缘故,这使得人类的头脑中已经事先有了时间观念,有鉴于此,为了避开时间观念所可能带来的糊涂或困扰,从现在起我们便有意识地抛弃任何这样的概念,而把“距离的连续变化”这种可以通过感官直接感受的现实作为我们讨论有关问题的理论基础与最原始的出发点。于是所说相对运动过程其进展或进度便完全可以用这种连续变化的距离数值来直接反映,而不是先预设一个时间变量,然后再指出对于这个时间变量的任一数值,其对应的距离数值有多大。同理,“瞬时相对距离”中的“瞬时”一词也是指距离的变化特点,而不是说我们预设了时间概念或时间变量。为了加深对以上内容的理解,让我们再从另一个角度来考察这一问题。以反映匀速直线相对运动规律的公式d=vt为例,其中dvt分别表示距离、速度以及时间,如果我们有了时间变量t的数值,而且又知道相对运动速度v的数值,显然我们可以计算或确定出给定时刻的距离数值d;或者,在所说时间变量t的数值已经给定的前提下,我们又知道该时间变量数值所对应的距离数值d,于是我们便可以确定出物体之间的匀速直线相对运动速度,即v=d/t;事实上,在现行的计量理论中我们也正是把距离d与时间t作为基本单位的,从而v=d/t告诉了我们,速度是由长度与时间这两个基本单位所决定的导出单位。但是读者可曾想过以上公式中的v也可以被视作基本单位?若果真如此,则速度这个基本单位与长度这个基本单位便可以一道完全决定时间的度量,即t=d/v,从而时间成为了一个导出单位。于是读者可能会问:难道相对运动速度v真的可以成为基本单位吗?或许有人会回答说:简单地人为规定v是基本单位不就行了?!事情当然不会这么简单;事实上,就本节的运动相对性论证的说服力而言,速度可不可以成为基本单位只能取决于有无基本的物理规律来支持这样一种做法,幸运的是,的确有这样的物理规律,因为匀速直线相对运动状态就是牛顿第一运动定律制约下的一种基本现实。以上的分析清楚地表明,我们可以不预设时间概念与时间变量但仍然可以有效地描述相对运动尤其是匀速直线相对运动,这将有力地支持我们稍后针对运动地相对性所做的撇开时间概念的论证。

评注2(续评注1):以上的分析清楚地表明,基于相对运动过程中的任一距离数值以及其连续变化特征,同样可以有效反映相对运动的进度或进程,这一点与把运动解析为一个时间过程完全类似;特别地,这意味着我们总可以把运动过程中单个的距离数值作为考察的对象,就如同我们考虑或考察时间的每一刻一样。所以,尽管相对运动意味着两个物体之间的距离数值是瞬时的以及变化的,但这不妨碍我们取出其中的任何一个具体数值作为客观的存在以及作为思考、分析的对象。于是这一观察同有关物体O’O之间的相对运动问题研究中的刚体坐标系假设相结合,便意味着我们可以把本来属于动态性质的O’O所夹的刚体直线段O’O,解析为单一长度且具有瞬时性质的刚体直线段所共同组成的一个连续系列,所以为了考察距离以及相对运动的相关物理性质,以下我们将只考虑且只需考虑这个本具有瞬时性质但现在却事先给定的刚体直线段O’O

评注3(续评注2):由于对任何一条本具有瞬时性质但现在却事先给定的刚体直线段OO’来说,以O为起点丈量到O’所得的长度数值与以O’为起点丈量到O所得的长度数值总是相等的,所以对于处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O来说,OO’的距离与O’O的距离总是同一数值,而O’O之间的所谓瞬时相对距离显然即是指这个数值,于是两个物体O’O之间的距离概念自动具有了对称性。当然,经典力学与狭义相对论对此都不否认,除非某些相对论专家意识到了这件事情所可能带来的某些严重不利的后果。

虽然正像以上诸评注所论证的那样,处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O之间的瞬时距离总具有对称性与唯一确定性,但处于相对运动状态的这两个物体O’O对这个唯一确定的距离数值的认定是否同步发生,我们对此尚未回答,所以我们有:

定义1.4.3(距离的相对性):对于彼此之间处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O来说,如果对于O’O之间的任何一个事先给定的瞬时相对距离数值,总存在对O’O普适的某一刻使得O’O于此刻共同认可这个距离数值,则称O’O之间的距离总具有相对性。

评注1:如果以t表示定义中普适的时间变量,以dd’分别表示在t这一刻O’认定的自己相对于O的距离与O认定的自己相对于O’的距离,则距离的相对性意味着于此普适时刻t总有d’=d

评注2:该定义明确要求所涉的两个物体O’O总在同一时刻认可同一距离数值,但有时我们只强调在整个运动过程中距离的变化范围(比如说区间[0D],其中D>0是某个给定数值)对于O’O是客观而且唯一的,却既不假设时间变量对二者的普适性也不要求双方总在同一时刻对同一给定距离的认可,我们把如此理解的距离的特性叫做距离的客观唯一性,它也被理解为运动相对性内容的一部分。

定义1.4.4(运动速度的相对性,又叫运动的相对性):对于彼此之间处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O来说,如果存在一个对二者普适的时间变量t,使得对于运动过程中的任一t值总有O’相对于O的运动速度与O相对于O’的运动速度大小相等、方向相反,则称O’O之间的相对运动速度总具有相对性,通常又把它叫做运动的相对性。

评注1:如果以t表示定义中普适的时间变量,以vv’分别表示在t这一刻O’相对于O的运动速度与O相对于O’的运动速度,则运动速度的相对性意味着在建立了适当的坐标系后总有v’= -v

评注2:也与距离的相对性定义类似,该定义明确要求所涉的两个物体O’O总在同一时刻认可方向相反但大小相等的同一运动速度数值;但有时我们只强调在整个运动过程中速度的绝对值变化范围(比如说区间[0V],其中V>0是某个给定数值)对于O’O是客观而且唯一的,却既不假设时间变量对二者的普适性也不要求双方总在同一时刻对同一给定运动速度的认可,我们把如此理解的相对运动速度的特性叫做运动速度的客观唯一性,它也被理解为运动相对性内容的一部分。

命题1.4.5(距离相对性与运动速度相对性的关系):处于匀速直线相对运动状态的两个物体其距离的相对性与运动速度的相对性是彼此等价的。

证明:不失一般性地假设两个物体于初始时刻彼此间的相对距离为零。先证距离的相对性Ú运动速度的相对性(:此处的符号“Ú”意为“导出”)。由于距离的相对性意味着存在普适的时间变量t,使得对于任一tO’相对于O的位移(:此即带有正负号的距离)lO相对于O’的位移l’满足l’= -l,再由t的任意性可知,在t+dt这一刻有类似的关系l’+dl’= -l+dl),其中dt表示t的无穷小增量(即微分),dl’dl分别表示l’l的微分。于是将前两个式子化简可得dl’= -dl,两端再除以共同的dt,得dl’/dt= -dl/dt。注意前式中位于左端的微商表达式即是O相对于O’的(瞬时)运动速度v’,而位于右端的微商表达式则是O’相对于O的(瞬时)运动速度v,于是有v’= -v,且等式两端用于度量速度的时间区间均为[tt+dt],但由于dt趋向于0,于是可知两个瞬时速度是指普适时间的同一刻t,这样运动速度的相对性得以证明。再证运动速度的相对性Ú距离的相对性,仍沿用此前的记号。如果时间变量tO’O普适,则根据位移公式,在时刻tl’=0tv’dtl=0tvdt,但v’= -v,于是有l’=0tv’dt=0t-vdt= -0tvdt= -l,即O’O在同一刻t认可同一距离数值|l’|= |-l|,亦即距离具有相对性。证毕。

评注1:该命题原则上可以推广到曲线运动或直线加速度运动的情况,但此时其表达方式可能需要修改或润色,如引入极限概念等;事实上,该命题的证明同时也适用于直线加速度运动的情况,因为它并未要求物体的运动速度大小恒定不变,只是假定了物体是在做直线运动,有鉴于此,证明中的速度向量vv’分别简化成了标量vv’

评注2:该命题表明,如果距离的相对性成立,则运动速度的相对性也一定成立,反之亦然;但关于距离的相对性或运动速度的相对性各自自身的成立与否,这命题未提供任何信息,所以对此需要继续探讨。

以下准备对距离的相对性进行论证,但在此之前,让我们先把定义1.4.2后的评注1-3总结为一个命题:

命题1.4.6(距离的对称性):处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O之间的距离具有对称性,即对于相对运动过程中的每一个距离数值d,这数值都代表了一个给定的刚体直线段OO’的长度,因而d既代表从O处丈量到O’处所得的距离数值,它也代表从O’处丈量到O处所得的距离数值。

证明:已见于定义1.4.2后的各个评注中了。

好了,现在我们论证距离的相对性。

命题1.4.7(距离的相对性):处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O之间的距离总具有相对性。

证明:按照惯例,我们假设有刚体坐标系分别和O’O相固连,并不失一般性地假定二者的相对运动始于坐标原点O’O的重合。再假定d>0是运动过程中的任一个瞬时相对距离数值,我们必须证明,存在某个普适的时间变量t使得O’O总是在同一时刻t认可这同一距离数值d。首先,根据命题1.4.6O’O之间的距离具有对称性,因而给定的距离数值为d既意味着O’相对于O的距离为d,也意味着O相对于O’的距离均为d,如果以刚体坐标系内的空间坐标来表示,以上两个判断即是在说,O’O所在的坐标系内刚好与坐标为x=dO1点重合,而OO’所在的坐标系内则刚好与坐标为x’= -dO’1重合,如图A2)所示:

A

A1

A1.png

A2


A2.png


于是其余所需证明的惟有:存在普适的时间变量以表明O’O1的重合同OO’1的重合总是发生于这普适时间的同一刻。为此目的,让我们回放一下以上匀速直线相对运动过程,以便回到相对运动之初O’O重合的那一位置,如图A1)所示。根据刚体坐标系假设(即它的任何两点之间的距离在运动中保持不变),可知对于图A1)所示的情况来说,O1O的右侧距离为d的地方,而O’1则在O’的左侧距离为d的地方。由于刚体直线段O’1O’OO1不仅同向而且等长,于是根据刚体长度比较原理(命题1.4.1),在由图A1)连续演变并最终过渡至图A2)之际,O’1O的重合同O’O1的重合是逻辑等价命题,亦即它们本质上乃是同一事件,于是再根据命题1.4.1后的评注2与评注3,同一事件在任何计时方法下都只能赋予一个时间变量数值,因而由此所得的时间变量对O’O的普适性便自动建立,不仅如此,如前所述,O’O对这同一距离d的认定还必定发生于这普适时间的同一刻。最后,再由d的任意性,可知命题得证。

评注1:该命题的结论原则上可以推广到曲线运动或直线加速度运动的情形,但其论证可能需要修改或润色,比如引入极限概念等。

评注2:请注意,命题中O’O对它们之间任一相对距离数值d的同步认定并不需要有关计时方法的任何预设信息,这表明命题的成立是独立于任何具体的计时方法与时间概念的,或者换个表达方式,命题中O’O对同一距离d的同步认定是任何计时方法都必须满足的先验性结论,据此我们断言,包括距离的相对性在内的运动相对性是运动的最基本同时也是最本质的属性。

评注3(续评注2):其实,敏锐的读者应该已经意识到了,我们之所以没有事先假设有关计时方法的任何信息,乃是因为O’O对彼此之间距离及其变化的认定恰恰正是它们计量时间的最基本方法,参见定义1.4.2后的评注1或命题1.8.12a1.8.12b的证明;而另一方面,根据以上评注2与命题1.8.12a,距离的相对性确保了基于运动本身的这种计时方法必然优先于基于任何其它物理过程的计时方法,正因为如此,才说O’O对同一距离的同步认定具有先验性。

评注4(续评注3):有读者可能不解:既然没有预设任何计时方法,即并没有把时间量化,那又何来匀速直线相对运动?这个问题已在定义1.4.2后的评注1中做了初步解释,并将继续在命题1.8.12a1.8.12b中得到比较全面的回答,但这里我们简单提醒读者:匀速直线运动状态乃是某个基本物理规律制约下的一个必然结果,这个规律就是牛顿第一运动定律;回忆一下:物体总是倾向于保持其静止或匀速直线运动状态,直到有外力改变它的这种状态为止,所以定义匀速直线运动事实上并不需要事先引入有关时间与空间的具体计量方法与概念,而只要承认这种运动是牛顿第一运动定律制约下的一种基本情形就行了。

评注5:由于相对性是运动所具有的带有先验特点的最本质属性,因此这种属性必然优先于任何具体的物理理论如相对论或经典力学,所以运动相对性也是检验所有这些理论的试金石;同时,这里再次提醒读者,运动相对性基于刚体与刚体坐标系前提,而刚体与刚体坐标系不仅是经典力学尤其是其运动学分支的出发点与理论前提,而且也是狭义相对论的出发点与理论前提。

评注6:包括距离的相对性在内的运动相对性有一个极其重要的后果,这就是它表明,对于大家所熟知的伽利略坐标变换t’=tx’=x-vt而言,它的时间分变换t’=t逻辑上并不独立于它的空间分变换x’=x-vt;事实上,前者是后者的必然后果,这是由于伽利略坐标变换以两个刚体坐标系之间的相对运动为前提,这件事反映在空间分变换上就是x’=x-vt;但是根据以上所证的距离相对性,一个同时适用于所说的两个刚体坐标系的时间变量的存在以及绝对同时性的成立是不可避免的结论,从而t’=t是其逻辑后果。

评注7:距离的相对性不仅可以在刚体与刚体坐标系的前提下建立起来,而且可以在更一般的假设下建立起来;比如,狭义相对论基于刚体前提而导出了刚体在运动中产生长度收缩的结论,显然,这一点不仅自相矛盾,而且与现实相矛盾;但即使假定尺缩效应在这个理论中是成立的,那么也不难理解,在“动系”的长度标准做了调整之后,“动系”与“静系”将拥有同一个长度标准,因而可知命题1.4.7的证明将仍然适用,于是运动的相对性与绝对的同时性仍然成立,这与狭义相对论所谓的相对的同时性还是直接相矛盾。

接下来,再来论证运动速度的相对性:

命题1.4.8(运动速度的相对性):处于匀速直线相对运动状态的两个物体O’O之间的(瞬时)相对运动速度也总具有相对性。

证明:根据命题1.4.7,距离具有相对性;而再根据命题1.4.5,运动速度相对性与距离相对性是逻辑等价的,于是可知运动速度具有相对性。或者这一命题也可以直接基于刚体长度比较原理与瞬时速度概念进行直接论证,细节可参考命题1.4.5的证明,这里略。证毕。

在结束本小节之前,让我们再论证并总结一下距离的相对性及其客观唯一性、运动速度的相对性及其客观唯一性以及普适的时间变量的存在这三者之间的关系:

命题1.4.9:对于处在匀速直线相对运动状态的两个物体O’O来说:(1)距离的相对性等价于运动速度的相对性;(2)距离的相对性等价于距离的客观唯一性与普适时间变量的存在这二者的同时成立;对于运动速度的相对性也有类似的结论;(3)距离的客观唯一性与运动速度的客观唯一性这二者的同时成立意味着对O’O普适的时间变量的存在。

证明:关于(1):此前已证。关于(2):由各自的定义不言自明。以下论证(3)。不失一般性地假定在运动开始时与O’O固连的两个刚体坐标系完全重合,且在运动结束时两个物体之间的(最大)距离为D。根据距离的客观唯一性假设,如果在某t’一刻O’认定自己相对于O的距离为d,则在某t一刻O将认定自己相对于O’的距离为d’= -d,其中t’t分别为O’O各自的时间(:距离的客观唯一性不要求t’t一定相同)。其次再根据速度的客观唯一性假设,如果O’相对于O的运动速度为v,则O相对于O’的运动速度将为v’= -v:与此前类似,这两件事也不要求于同一刻发生);如以下图B

B

B.png

于是根据距离公式有d=vt’d’=v’t,从而t’=d/v,以及t=d’/v’,但已知d’= -dv’= -v,因而t=d’/v’=-d/-v=d/v,所以有t’=t,即O’O对同一距离的认可总是同步发生的,再由所考虑的距离数值在给定距离区间[0D]内的任意性,可知在运动过程中存在一个对O’O普适的时间变量。

评注1:引进距离与运动速度的客观唯一性并论证二者的结合意味着普适时间变量的存在,这样做的主要目的是为了进一步反驳某些相对论专家对距离相对性与运动速度相对性概念中有关普适时间变量假设的质疑,而如前所述,距离的相对性与运动速度的相对性中的任何一个成立都意味着普适时间变量的存在,因而这就直接排除了狭义相对论中的相对的同时性与钟慢效应的可能;但以上命题进一步表明,即是剥去距离相对性与运动速度相对性概念中的普适时间变量因素,所得的距离客观唯一性与运动速度的客观唯一性这二者的同时成立仍然意味着普适时间变量的存在,于是再次驳斥了狭义相对论中所谓相对的同时性与钟慢效应。其次,由于狭义相对论明确认可刚体与刚体坐标系前提,而这直接意味着距离相对性的成立,也进一步意味着距离的客观唯一性的成立;同时狭义相对论还默认相对运动速度概念,亦即认可运动速度的客观唯一性,这样再根据命题1.4.9,狭义相对论必然又导致普适时间变量在这个理论中的存在。

评注2:综合本小节的主要内容可知,在运动学研究中假设一个对所有参照系都普适的时间变量的做法不仅经得起推敲,而且乃理之必然,而这一点与所考虑的是经典力学还是狭义相对论并不相干。

评注3:关于图B中有关记号的说明:在该图中,O’相对于O的距离是在O所在的参照系内度量的,所以用不带撇的符号d,类似的,速度用符号v,但我们却假定O’的计时是通过它自身所携带的时钟完成的,所以其时间变量用符号t’,于是有公式d=vt’,此即图B中两个坐标轴之下的那个式子;类似地,有d’=v’t;但由于v’= -v,所以前面的式子可以改写为d’=-vt,此即图B中两个坐标轴之上的那个式子。

 

1.5 伽利略时空坐标变换

如前所述,为了研究两个物体之间的相对运动问题的方便,我们通常假定有两个刚体坐标系分别与这两个物体固连在一起;既然如此,探讨这两个刚体坐标系在运动过程中的坐标对应与转换关系便是一个十分重要的问题。不过在此之前,先让我们阐述一下选择刚体坐标系的理论根据。所谓刚体,当然是指在受力或运动条件下不发生形变的物体,但经验告诉我们,完美的刚体在现实中是不存在的,所以刚体的更现实的定义是指那些在受力或运动条件下虽有形变但如此形变却可以忽略的物体。根据牛顿第二定律,力是使物体获得加速度的原因;再根据虎克定律,力又是物体尤其是弹性体发生形变的原因,把两个定律结合便知,运动物体只有在其加速度阶段才会在运动方向上产生形变,而在其匀速直线运动阶段该物体理论上是不会发生形变的,但由于除非特别说明,本章所考虑的总是物体的匀速直线相对运动(或更一般运动形式内的匀速直线运动阶段),所以物体的变形问题不是我们的忧虑,正因为如此,采用刚体坐标系的理由极为正当。读者可能会问:那物体的加速度运动阶段呢?它不是仍然可能会产生形变吗?是的,的确如此,但以下三个理由足以免除我们对有关该物体变形可能的顾虑:一、如果运动物体本身就是弹性体,且在获得加速度的过程中其受力又不超过弹性极限,于是待其加速度一旦结束,物体又可以恢复原来的形状;二、即使物体不是理想的弹性体,但只要允许其加速度阶段持续得足够长,就可以在加速度足够小因而形变也足够小的前提下获得所需的匀速直线运动速度;三、如果物体被加速的阶段所产生的形变不幸地无法在随后的匀速直线运动阶段恢复,我们完全可以将产生了形变之后的物体作为匀速直线运动过程中的研究对象,这显然相当于调整了运动参照系内的长度标准,于是在调整了长度标准之后,此前有关刚体运动的所有结论仍将适用。这样,刚体坐标系假设不仅是包括经典力学与狭义相对论在内的任何有关运动学研究的最基本前提,而且它也是最符合现实与最经得起推敲的假设之一。

提醒一下:从本小节开始,本章1.1节的“运动学总前提”将成为此后所有讨论的理论基础之一;特别地,我们总是假定或默认一个对所涉的任何参照系都普适的时间变量t的存在,而这一点我们已经在运动的相对性中进行过充分论证。

命题1.5.1(伽利略空间坐标变换):考虑两个一维刚体坐标系O’X’OX之间的匀速直线相对运动,假定初始时刻t=0时两个坐标系完全重合,且O’X’以速度v沿着OX的正方向运动,于是所说刚体坐标系O’X’OX之间的相对运动意味着这两个坐标系之间存在以时间变量t为参数的一一坐标对应关系,即

x=x’+vt……(a1’),或者等价地,x’=x-vt……(a1);

此即众所周知的伽利略坐标变换的空间分变换,其中(a1’)中的x’O’X’轴上任一坐标点,x为任一时刻t时点x’OX轴上的对应坐标点。

证明:假定A’代表坐标系O’X’上坐标为x’的点,并不失一般性地假定x’>0,如图C1)所示;由于刚体直线段O’A’在匀速直线运动过程中其长度保持不变,从而它在t=0时刻的长度|x’|=x’也就是它在此后任一时刻t时的长度;但根据已知,在t这一刻线段O’A’的左端点O’位于坐标系OX内坐标为x1=vt的地方,如图C2)所示,若以x代表该线段的右端点A’于此刻在OX内所处的坐标,则O’A’的长度不变意味着x-x1=x’,从而x=x’+x1=x’+vt,此即(a1’),它经过简单变形即成为(a1)。有关x’<0的情况同理可证,这里略。证毕。

C

C1


C1.png


C2

C2.png


评注1:若把O’X’视为“动系”而OX为“静系”,则根据以上命题,对于动系O’X’内的任一事件(x’t’),总有静系OX内唯一的事件(xt=x’-v’t’t’=x’+vtt)与之对应,其中v’= -v;这意味着有关动系内任何两个异地事件的时间顺次或同时性问题总可以化为静系内相应的问题。反之,若把OX视为动系而O’X’为静系,也有类似的结论。

评注2:命题中的伽利略变换的空间分变换x’=x-vt与它的时间分变换t’=t一起组成了伽利略时空坐标变换,简称伽利略变换,即:

x’=x-vt……(a1),t’=t……(a2);

虽然没有证据表明伽利略的确推导出了以上的变换,但据信他是第一位系统思考匀速直线运动的物理学家,参见【Galileo1638pp. 154-160。不过,这里再次提醒读者:伽利略坐标变换的空间分变换与时间分变换在逻辑上并不彼此独立,事实上,前者的成立意味着后者必然成立;相信对许多人来说这是一个出人意料但其实又在情理之中的结果。

评注3:与经典力学不同的是,狭义相对论并不使用伽利略变换(a1)与(a2),而是使用以下的洛伦兹变换:

x’=x-vt/1-v2/c2)……(b1t’=t-vx/c2/1-v2/c2)……(b2

其中c为光速常数。与伽利略变换相比,洛伦兹变换最大的不同是它的时间分变换(b2)中包含了空间坐标;然而普通读者可能并不知晓的是,伽利略空间分变换(或其等价命题)其实也是洛伦兹变换赖以导出的基本前提之一(参见【Lorentz1904】第3节:“vx=w+ux vy=uyvz=uz”,此乃伽利略速度叠加原理,亦即伽利略变换的逻辑等价命题;或者参见【Einstein1905】第3节:“x’=x-vt”,此即伽利略空间分变换)。两个变换的更多区别可见本章稍后的其它小节;对洛伦兹变换系统而深入的研究则见于本书的“洛伦兹变换”一章。

评注4:由于伽利略空间分变换(a1)乃是洛伦兹变换的理论前提,而此前我们已经指出(a1)的成立必然意味着(a2)亦即伽利略时间分变换的同时成立,于是我们得出结论:(1)洛伦兹时间分变换(b2)不可能是物理现实的真实反映;(2)洛伦兹变换在使用伽利略空间分变换这个前提的同时,要么同时使用了与它矛盾的其它前提,要么在推理中出现了错误,从而最终导出了扭曲了伽利略时间分变换的洛伦兹时间分变换。然而洛伦兹变换其实还有更多更严重的不能成立的理由,参见本书的有关章节。

评注5:在讨论纯粹运动学问题时,处于相对运动状态的两个坐标系之间谁动谁静的问题一般来说是任意选择的结果,比如在以上命题中我们通过选择OX为“静系”而导出了有关结果,但其实我们也可以通过选择O’X’为“静系”而达到同样的目的,这正是我们在1.2节提到、在1.4节系统探讨的运动相对性,所以这种相对性的实质乃是相对运动的对称性。而与此相应的是,伽利略空间分变换在两个坐标系OXO’X’的形式,即x=x’+vtx’=x-vt也是对称的,所以此时数学方程的对称正是对现实情况对称性的如实反映,但不幸的是,并非所有数学对称都反映了真实的现实,如洛伦兹变换的对称性就不是这样,我们将在“洛伦兹变换”一章对此进行更深入的探讨。

 

1.6 刚体运动的实质

为了更深入地理解物体尤其是刚体运动的实质,我们提出并论证如下命题:

命题1.6.1a(刚体平动的实质,又叫刚体平动原理):刚体做匀速直线平动的实质是构成该刚体的所有质点在做既同步又同速的直线运(振)动。

证明:如以下图D,我们针对一维刚体O’A’的匀速直线运(平)动进行论证,并假定其速度为v。为了论证的方便,不妨假定O’A’即是论证命题1.5.1时图CO’X’参照系内的那个刚体直线段;为此我们考察它在时间间隔[tt+dt]内的运动情况,其中t代表任一指定时刻,dt代表时间的无穷小增量即微分。先看t这一刻的情况,根据伽利略空间坐标变换(1a’),刚体直线段O’A’的右端点A’于此刻的位置坐标为x=x’+vt,图中以A1表示,而它的左端点O’于此刻的位置坐标则为x=vt,图中以O1表示。

D


D.png

再看右端点A’于此后的位置变化,假定它在[tt+dt]这段时间内移动了dx的距离从而由A1点到达了A2点,则不难算出dx=vdt,这当然也是一个无穷小量。那么O’的情况如何呢?既然作为刚体,O’A’tt+dt这两个时刻的长度是相等的,那么这就必然意味着在它的右端点A’向右移动了dx的情况下,其左端点O’必然在同一时间区间[tt+dt]内也向右移动了dx从而由O1点到达了O2点,由于dt的选择可以任意接近于零,从而区间[tt+dt]趋向于单一的时刻t,于是我们推知O’A’分别相对于它们在OX坐标系内的参考点O1A1的运动必然是同步的;不仅如此,由于它们总在相同的时间间隔dt内完成相同的空间位移dx,因而二者的瞬时运动速度v=dx/dt也必然总是相同的。所以结论是:O’A’相对于它们在OX轴内静止的对应点在做既同步又同速的直线运(振)动(:套用“振动”这一术语是为了把相关结果与一般的波动传播机制联系起来;更多细节可见本章的1.7节)。再由A’本身选取的任意性,可知命题1.5.1O’X’轴上所有的点都在相对于其在OX轴内的对应点一起做同步又同速的直线运(振)动。证毕。

评注:刚体平动原理反映了物体运动时所体现出的内在协调性与一体性,所以它也可以看做是物体以及其运动的本质属性。此前我们提到,这个原理与刚体长度比较原理在逻辑上是等价的;事实上,如果读者留心便不难发现,命题1.6.1a中刚体平动原理的推导实质上已经默认了刚体长度比较原理的正确性(:把运动刚体上所有质点相对于其静止参照系内对应点的同步同速运动看做是刚体长度比较这一过程的逆过程),而以下我们还将看到,基于刚体平动原理还可以导出刚体长度比较原理(参见命题1.6.2),所以说二者本质上是等价的。

命题1.6.1b(刚体转动的实质,又叫刚体转动原理):刚体围绕某个轴心做匀速转动的实质是位于刚体上任一横切圆周上的所有质点在做既同步又同速的曲线运(振)动。

证明:命题1.6.1a的证明原则上也适用于这里,读者可以考虑修改或补充其中的细节。

评注:命题1.6.1b中所说的“同速”是指同一速率,这是因为横切圆周上不同的质点显然运动方向并不相同。

基于以上思路,我们可以建立一个有关异地同步事件的命题,它对于本章稍后建立并理解异地同时性尤其是刚体运动同时性等概念有着极其重要的意义。

命题1.6.2(事件同步的充分必要条件,I):对于沿着同一直线、同一方向放置但彼此处于匀速直线相对运动状态的两个一维刚体A’B’AB来说,二者长度相等的充分必要条件是B’B的重合和A’A的重合是异地同步事件。

证明:以刚体AB所在的直线为坐标轴建立刚体坐标系OX,并假定A’B’在以速度v相对于AB运动,如图E所示:

E


E.png

先证必要性。假定A’B’AB同长,即|A’B’|=|AB|,且不失一般性地假设在B’B重合之前的某个时刻t,二者的相对位置如图E所示;由于图中有|A’B’|=|AB|,且|AB’|=|AB’|(任何一个量都等于自身),于是有|A’B’|-|AB’|=|AB|-|AB’|(等量相减仍得等量),即|A’A|=|B’B|。而根据命题1.6.1a(刚体平动原理),A’B’相对于它们在OX轴上的对应点在做同步且同速的直线运动,且由于A’B’在分别与AB重合之前所需完成的路程|A’A||B’B|完全相等,于是可知A’A重合和B’B重合必然同时发生,亦即异地同步事件。再证充分性。如果A’A的重合和B’B的重合是异地同步事件,则表明于A’B’AB公认的某一时刻t,二者从首至尾可以完全重合,于是二者必然等长。证毕。

评注1:以上证明显然与刚体A’B’沿着哪个方向趋向于AB无关,即如果A’B’从右向左运动而趋向于AB,而不是图E中的从左向右,则不难看出所得结论仍然成立。于是推论中的A’A重合和B’B重合这两个事件的异地同步关系具有关于运动方向的对称性,这一点以后将用于证明“刚体运动同时性”的对称性。

评注2:以上证明显然也与A’B’相对于AB的运动速度v无关,这是由于我们无需对v的大小做出任何限制。

评注3:不难看出或理解,如果以A’B’所在的坐标系O’X’为参照进行分析,所得结论将是一样的。

评注4:评注123表明,所说命题的成立与参照系的选择无关。

评注5:最后,不难看出,命题1.6.2本质上即是本章1.4节的刚体长度比较原理,但该命题的证明却用了刚体平动原理1.6.1a,再加上刚体平动原理的证明事实上也用了刚体长度比较原理,所以我们此前断言,二者逻辑上是等价的。

评注6:如果A’B’AB之间不是匀速直线相对运动,但二者均为刚体的假设却是严格成立的,则命题1.6.2仍然成立;事实上,正如我们在别处提到的那样,当二者之间是匀速直线相对运动时,刚体的假设其实是不必要的,这是由于一般的物体在做匀速直线运动或者处于其运动的匀速直线运动阶段时并不产生形变,或者说没有理由如此。

在命题1.6.2中,A’B’是刚体直线段A’B’的两个端点,因而它们同处一个运动参照系O’X’内且总具有同一个运动速度,但如果假设A’B’是独立运动的两个质点,此时又如何检验A’A的重合同B’B的重合是否为同步事件呢?我们有命题1.6.2的如下推广:

命题1.6.3(事件同步的充分必要条件,II):假定在命题1.6.2A’B’是独立运动的两个质点,命题的其它条件不变,则A’A重合和B’B重合为异地同步事件的充分必要条件为存在与AB同向、同长的一维运动刚体A1B1,它满足条件:B1B’B重合时刚好经过点B,而A1A’A重合时则刚好经过点A

证明:先证充分性。如果一维运动刚体A1B1AB同向同长,则根据命题1.6.2可知:(1B1B的重合同A1A的重合是异地同步事件;根据已知又有:(2B’B的重合同B1B重合其实是同一事件,且A’A的重合同A1A的重合也是同一事件,所以(1)与(2)的结合意味着A’A重合和B’B重合为异地同步事件。再证必要性。假定A’A重合和B’B重合为异地同步事件,考虑与A’固连在一起的刚体坐标系O’X’,在该坐标系内截取与AB同向同长的刚体直线段A1B1,其中端点A1即取做A’,于是根据命题1.6.2知,A1A重合同B1B重合是异地同步事件,但A1即是A’,且A’A重合与B’B重合同步,于是根据经典同步概念的传递性可知,B1B的重合也同B’B的重合同步,亦即B1刚好在B’B重合时经过点B,同时,A1刚好在A’A重合时也经过A这件事情是自动成立的,因为A1其实就是A’。于是命题证毕。

评注1:当A’B’分别为与AB同向同长的某一刚体直线段的两个端点时,命题1.6.3显然自动转化为了命题1.6.2,因为此时命题证明中所需的A1B1即可取做A’B’,但在一般情况下两个命题并不等价,所以命题1.6.3可以视作命题1.6.2的推广。

评注2:命题1.6.21.6.3其实不只是提供了一些理论结果,而且它们提供了检验一类异地事件是否同步的现实方法;更多细节可参见本章稍后几小节的有关内容。

 

1.7刚体在运动方向上所诱发的相速

我们知道,一种计时方法通常已经默认了它有着什么样的同步亦即同时性概念,同时我们还知道狭义相对论的同时性意味着与经典力学不同的同步概念,那么此前我们在本章的1.6节讨论的由刚体运动所诱发的同步概念意味着什么呢?我们有:

命题1.7.1a(刚体平动的无穷相速):对于做匀速直线平动的刚体来说,如果它在运动方向上的尺寸非零,则它在该方向上所诱发的相速处处等于无穷。

证明:以命题1.5.1的证明中图C1)、(2)中的一维刚体O’A’的匀速直线运(平)动为例,考察它在时间区间[0dt]内的运动情况;根据命题1.6.1aO’A’的运动等价于构成它的所有质点的同步又同速的运动,若把每一质点于t=0这一刻的位置看做它的平衡位置,而把每一质点的运动看做它离开其平衡位置的振动,则O’A’上所有质点的运动便构成了一列正在传播的纵波,其波动传播方程为fxt=vt。注意空间变量x并不显含于fxt),而这恰恰是由所有质点的振动都既同步又同速这一事实所造成的。

接下来,我们构造以波数k=2π/λ为参数的波动传播方程系列,fkxt=v/ωsin[ωt+φkx],其中ω=2πf=2πc/λ=kc为波的角频率(fλ分别为波的频率与波长),c为波速常数,而光滑的相位角函数φkx=okx),即该波的相位角是kxk=2π/λÚ0时的高阶无穷小(:本证明中的符号“Ú”表示极限概念中的“趋向于”)。不难发现,fkxtÚ fxt)以及 fkxt/∂x Ú fxt/∂x,且所说极限都在[0dt]Í[0x]上一致地成立,其中x为刚体直线段O’A’的右端点A’在坐标系O’X’内的坐标;但另一方面,由于对fkxt)而言,φkx/kx=∂okx/kxÚ0,故k Ú0其在任一点(xt)的相速vk=ck/φkx/∂x= c/[φkx/kx]Ú∞(:此处用了相速的定义与此前的零极限结果),从而可知fxt=vt在空间任一点的相速v作为vk的极限都等于无穷;如以下图F所示:

F

F1.png


F2.png



F3.png



F4.png



F5.png


:在图F中,为了数值模拟的方便,光速常数c取成了1,刚体运动速度同时也是系列质点的振动速度为v=0.1c;横坐标轴为x[01],纵坐标轴为y= fkxt)或y=fxt[-0.010.15],而t[01]则为时间参数;模拟时fkxt)表达式中的φkx)取成了(kx2,它显然是kx的高阶无穷小。)

反之,如果φkx)的形式未知,但已知fkxtÚ fxt)以及 fkxt/∂x Ú fxt/∂x[0dt]Í[0x]上一致地成立,则不难推知必有vkÚ∞。事实上,不失一般性地假定v≠0,则由fkxt=v/ωsin[ωt+φkx]kÚ0时一致趋向于fxt=vt这一假设,可知必有φkxÚ0(细节略);再由 fkxt/∂x 一致趋向于0 fxt/∂x,可知必有φkx/kxÚ0(细节略),于是vk=ck/φkx/∂x= c/[φkx/kx]Ú∞。这表明把fxt)的相速定义为fkxt)的相速vkkÚ0的极限又是必要的。综上,刚体O’A’在运动方向上所诱发的相速处处等于无穷。证毕。

命题1.7.1b(刚体转动的无穷相速):对于围绕某个轴心做匀速转动的刚体来说,它在任一横切圆周的转动方向上所诱发的相速处处等于无穷。

证明:命题1.7.1a的证明原则上也适用于这里,读者可以考虑修改或补充其中的细节。

评注1:以上证明思路来自于发射天线的近场相速为超光速乃至趋于无穷的启发,但证明中所用的波动传播方程其适用范围显然不限于电磁波;事实上,理论上它可以是包括电磁波、声波等在内的任何波动。

评注2:所说命题可以从其它角度导出,如从相速的物理含义出发,或根据信息的即时超距共享这一事实,或基于通过刚体运动所实现的绝对同时性(参见本书的1.8节与1.9节)等。

评注3:一维弹性体由于外力作用而产生弹性形变,如此形变所诱发的相速也总是无穷;不仅如此,万有引力、静电作用力、静磁作用力、直流电场力、封闭电路交流电场力等所诱发的相速理论上也都可以证明是无穷,量子纠缠相信也是如此,但真空中的电磁波的传播其相速则为光速常数c

评注4:所说命题可以推广到传播方程形式为fxt=AxBt+Cx)的任何波动(或任何质点系统的振动),其中Ax)、Bt)、Cx)为各自自变量的光滑或连续函数,参见本节的命题1.7.5;以上函数形式代表了各处质点同步但不一定同速的运(振)动,之所以不能保证各处同速是因为振幅包含了与x有关的因子Ax)。

评注5:命题的结果可用于实现异地时钟的经典同步调节,参见本书的1.8节、1.9节。

在经典力学中,我们经常使用“同步”这个概念;事实上,如果两个事件同时发生,很多情况下我们也称它们同步发生,所以在这个意义上同时与同步是一致的。但是有一点需要特别澄清:那就是,由于狭义相对论引入了相对的同时性,因此它的同时概念并不等同于经典意义下的同步,有鉴于此,我们引入:

定义1.7.2(无延时同步):如果某种同步概念所诱发的相速(处处)等于无穷,则它叫做无延时同步。

命题1.7.3a(经典同步与无延时同步的关系):经典意义下的同步概念即为无延时同步。

证明:由命题1.6.1a(以及1.6.1b)可知一个刚体的运动意味着构成它的所有质点的同步运动,此处同步是指经典意义下的同步;再由命题1.7.1a(以及1.7.1b)可知,命题1.6.1(与1.6.1b)所说的同步运动所诱发的相速处处等于无穷,于是根据定义1.7.2可知,经典意义下的同步是指无延时同步。

评注:以上命题的结论还可以通过伽利略变换来理解;事实上,由于在经典力学中使用的是伽利略时空坐标变换(a1)、(a2),即x’=x-vtt’=t,我们看到当“静系”内的时间变量为t时,对于“动系”内的任意两点x’1x’2,它们的时间坐标均为t’1=t’2=t,所以不仅“静系”内所有各处的时间变量都同步(已被默认为同一数值t),而且“动系”内所有各处的时间变量还与“静系”内的同步。

命题1.7.3b(狭义相对论的“同步”与无延时同步的关系):在狭义相对论的洛伦兹变换的推导中,其“动系”内的“同步”概念不是无延时同步。

证明:在狭义相对论中,并非任何坐标系内的同时性都意味着无延时同步,这是从分析它的洛伦兹变换的推导过程所得出的结论,因为所谓的“静系”(又称“以太”惯性参照系)虽然具有如此特征,但在相对于“静系”运动的任何其它惯性系内其同时性并不意味着无延时同步,这从它的洛伦兹变换(b1)与(b2)即x’=x-vt/1-v2/c2t’=t-vx/c2/1-v2/c2可以看得非常清楚。比如,(x=0t=0)与(x=1t=0)在OX坐标系(此处被视为“静系”)内为同时事件,因而也就是无延时同步(:这个理论默认了其“静系”时间为经典时间),但根据洛伦兹变换而计算得到的它们在O’X’坐标系(此处被视为“动系”)的对应事件(x’=0t’=0)与(x’=1/1-v2/c2t’=-v/c2/1-v2/c2)虽然也被认为是O’X’坐标系内的同时事件,但二者并非无延时同步,事实上,按照经典力学的计时办法,后者比前者晚发生了0--v/c2/1-v2/c2=v/c2/1-v2/c2)这么长时间。所以说,狭义相对论中“动系”内的“同步”概念其实是有延时的。

无延时同步有一个重要性质:

命题1.7.4(无延时同步的基本性质):若两个事件在一个坐标系内为无延时同步,它们将在任何坐标系内都为无延时同步。

证明:不失一般性地以刚体运动所包含的无延时同步概念为例进行论证;由命题1.7.1a的证明过程可知,刚体运动在“静系”OX内所对应的波动传播方程为fxt=vt,现在假定O1X1是另外任一坐标系,且假定OX相对于O1X1的运动速度为u,则易见构成刚体的所有质点在O1X1的内传播方程为fxt=u+vt,再由命题1.7.1a的证明思路可知,这个新的波动传播方程与原来的波动方程fxt=vt同样意味着所有质点振动的无延时同步,于是由坐标系O1X1的任意性可知,命题得证。

评注1:在以上证明中我们使用的是伽利略速度叠加原理,所以O1X1内的波动方程为fxt=u+vt;但假如我们使用的是相对论速度叠加原理,则这个方程变为fxt=[u+v/1+uv/c2]t,但正如我们在命题1.7.1a中所看到的那样,质点之间的同步其实与波动方程表达式中时间坐标t前面的常数系数无关,所以不管是在经典力学还是在狭义相对论框架之下,命题1.7.4都是成立的。但读者须知:相对论速度叠加原理并不反映真实的现实,更多细节可参见本书的有关章节。

评注2:此前我们已经提及,狭义相对论中的“静系”内的“同步”虽为无延时同步,但其“动系”内的同步却并非如此;但以上命题却表明,“无延时同步”是一个与坐标系无关的概念,据此可知,如果所说命题正确,则狭义相对论导致以上结论的有关推理必定错误。本书的“相对的同时性”与“洛伦兹变换”等章节将包含与此相关的更多、更深入的信息。

在本节的最后,我们把命题1.7.1a1.7.1b的结论推广一下:

命题1.7.5(波的相速处处为无穷的充分必要条件):一列波(或质点系的运动或振动)其相速处处都为无穷的充分必要条件是它的波动传播方程具有fxt=AxBt+Cx)的形式,这里假定Ax)、Bt)、Cx)均为各自自变量的连续函数或可微函数,其中x[ab]为空间变量,t[0T]为时间变量。

证明:先证充分性。不失一般性地假设在整个空间区间[ab]Ax>0,而Bt)则在时间区间[0T]上是t的单调增函数。如果前一条件不满足,可考虑按照Ax)正负符号将其定义域[ab]划分为正值区间与负值区间,然后以其中的一个正值区间代替原来的区间[ab];如果后一条件不满足,则考虑按照Bt)的增减性质将其定义域[0T]划分为单调增与单调减区间,然后以其中的一个单调增区间代替原来的区间[0T]。于是根据Ax)的正或负与Bt)的增或减可以分成四种情况进行讨论,而我们这里选择其中的一种情况进行论证,其余的可以类推。根据已知,有fxt=AxBt+Cx),于是我们可以定义、计算并解释以下函数:αxt[fxt- fx0]/[ fxT- fx0],显然,这个函数的分母代表了位于点x处的质点于全部时间区间[0T]所完成的最大运动幅度,而该函数的分子则代表了该质点于时间区间[0t]所完成的运动幅度大小,从而作为二者比值的函数αxt)实际上表征了x处的质点于时刻t的(广义)相位角的大小。计算并化简αxt),得αxt=[Bt-B0]/[ BT-B0],显然这是一个与x无关的量,于是可知所有各处的质点振动于时刻t的(广义)相位角都是一样,亦即所有各处的质点振动是完全同步的,从而其相速处处为无穷。再证必要性。如果所说波动的相速处处为无穷,则知所有各处的质点振动是完全同步的,于是在对所有质点振动的方向做了简单规定之后(比如对应于条件Ax>0Bt)单调增),可以进一步推知在任一x处与任一时刻t其广义相位角αxt[fxt- fx0]/[ fxT- fx0]一定是一个与x无关的函数,比如记之为Bt),从而有[fxt- fx0]/[ fxT- fx0]=Bt),解出fxt),得fxt=fxT- fx0))Bt+fx0),最后再令Ax fxT- fx0)以及Cxfx0)即得所需结论。证毕。

评注1:由于在命题1.7.1a(以及命题1.7.1b)中有fxt=vt,这显然是命题1.7.5fxt=AxBt+Cx)当Ax=1Bt=vt,以及Cx=0的特殊情况,从而可知命题1.7.5是命题1.7.1a以及命题1.7.1b的推广。

评注2(续评注1):特别地,如果将x点处的质点振动方程fxt=AxBt+Cx)关于t求偏导得 fxt/∂t=AxdBt/dt,由于一般来讲Ax)会随着x的变化而变化,于是可知所考虑的波动是各处质点同步但却不(保证)同速的振动,而在命题1.7.1a1.7.1b中所考虑的却是同步又同速的运(振)动,所以那里的Ax1,与x完全无关,而所有质点统一的振动速度则为 fxt/∂t=AxdBt/dt=1* dvt/dt=v,与命题假设所给的一致。

评注3:命题1.7.5中的空间坐标x可以表示直线段上的点如命题1.7.1a,也可以表示曲线段上的点如命题1.7.1b,但不管是直线段还是曲线段,它的形状都必须具有刚性,这是命题1.7.1a1.7.1b共同的前提。

 

1.8时钟运行机制与实现两只异地时钟同步运行的原理与方法

把两个事件的无延时同步概念应用于时钟上便是两只异地时钟的经典对时问题,又叫同步调节问题;本小节的理论基础是本章的1.6节与1.7节。在讨论时钟对时的问题之前,我们先对任一参照系内时钟的分布做一个简单约定,并依此而定义计时系统的概念。

定义1.8.1a(时钟分布约定;计时系统):在研究有关运动学问题尤其是时钟对时与事件计时问题时,我们约定或默认,在问题所涉及的任一参照系内的任一坐标点处或观察者所在之处,理论上都有一只具有指定性能的理想时钟,它不仅为该点处发生的任何物理事件(现象)计时,而且为那些由于运动而(瞬时)经过该点的事件(现象)计时。在指明了时钟内在的运行机制以及时钟之间的同步调节方法之后,所有这样的时钟组成的系统叫做一个计时系统。

评注1:关于此处“指定性能”与“理想时钟”的具体所指,参见稍后有关的时钟机制原理。

评注2:“该点处发生”是指该事件的诱因以及发生过程完全限制于所给定的那个参照系内的情况;“(瞬时)经过该点”是指该事件的诱因源于另一个参照系或者同时源于所涉及的两个参照系的情况;后者的例子如两只时钟在运动中的相遇等。以上两种情况均是就承载事件或现象的物理实体而言的,不是指其数学抽象。关于事件的数学抽象,参见本章1.9节的投影事件的定义以及与之相关的命题。

评注3:关于位于一个参照系内的时钟如何为发生于另一个参照系内的事件(包括跨越两个参照系的事件)计时的问题,这其实是一个如何定义并使用同时性的问题,有关细节可参见本章的1.9节与1.10节。

评注4:按照定义,一个计时系统不仅包括了所有用于计时目的的时钟,而且包括了对这些时钟的运行机制与同步调节方法的阐述或规定;关于这些机制与调节方法的信息,请参考本节稍后的内容。

评注5:如果参照系一词在本节任何地方引起了歧义,请默认它为惯性参照系,即做匀速直线运动的参照系。

定义1.8.1b(时钟运行机制约定):对于本节提到的所有时钟,其运行机制都是指内在机制,即它不是依靠自己与所在的参照系之外的物体之间的相互作用或信号交换而实现计时目的;所以这里所说的“内在”是相对于所在的参照系而言的;但更理想的情况显然是,每一时钟自身都是该参照系内一个独立运行的实体,即不通过与该参照系内其它物体的相互作用或信号交换而实现计时的目的,更不要说与该参照系之外的物体而如此作用了。其次,这里参照系概念是指可以同时承载观察者与被观察对象,并允许相关实验操作于其上的自足或封闭的物理平台,不是两个具有相同运动速度但却独立运动的物体所成的集合(:在经典力学或狭义相对论中,如此物体通常被称为属于同一参照系),也不是简单设想的一个数学坐标系。

评注:这个约定的目的是为了确保匀速直线运动条件下的相对性原理成立;有关相对性原理的系统而深入的研究,参见本书的“相对性原理”一章。

不难意识到,两只时钟其时间指示的相对快慢取决于以下两个基本因素:1、由时钟的物理构造与计时原理等所决定的其自然运行机制;2、两只时钟之间的同时性(同步)调节方法。关于时钟运行机制所遵循的物理规律,我们有如下一些原理:

原理1.8.2(同一参照系内时钟运行机制):位于同一惯性参照系内不同空间坐标点处的所有构造与性能完全相同的理想时钟其运行速率都是一样的。

评注1:所说结论是任一惯性参照系内的空间都具有均匀性与各向同性这一通行假设的直接后果,因为空间的均匀性与各向同性意味着空间处所或方位不对时钟的运行速率产生任何影响。

评注2:所说原理对非惯性参照系一般并不适用;如分别位于转盘的中心与边缘的两只构造与性能等同的理想时钟,由于其受力的不同,其运行的节奏快慢也可能不同。

评注3:所说原理(连同稍后其它的时钟机制原理)把时钟分布约定与计时系统定义中的“指定性能”与“理想时钟”的含义具体化了。

原理1.8.3(跨参照系时钟运行机制)所有构造与性能完全相同但处于匀速直线相对运动状态的理想时钟其运行速率都是一样的。

评注1:所说原理是相对性原理的直接后果,因为根据相对性原理,匀速直线运动不对任何物理规律产生任何形式的影响,而时钟的运行速率显然是相关物理规律自我揭示的基本方式之一。但这一原理有个理论前提,此即本节稍早的时钟运行机制约定(定义1.8.1b)。

评注2:两只时钟的运行速率相同并不代表它们一定同步运行,因为二者之间还有一个如何对时亦即采用哪一种同时性调节方法的问题。

评注3:所说原理的成立与两只时钟之间的匀速直线运动速度的大小或者它们相对于第三参照系的匀速直线运动速度的大小无关;所以,这一点是对狭义相对论中所谓钟慢效应的又一次明确拒绝或否定。

不过,为了把狭义相对论也纳入本小节的讨论框架,我们对原理1.8.3的结论适当放松:

原理1.8.3的狭义相对论替代(跨参照系时钟运行机制)任何两只构造与性能完全相同但处于速度为v的匀速直线相对运动状态的时钟其运行速率都有一个只依赖于v的确定的函数关系,且其相对运行速率之差在v/cÚ0的前提下不超过[1-1-v2/c2],这里c代表光速常数。

评注1:引入这个时钟原理的替代命题只是为了扩大原有原理的适用范围,从而把狭义相对论纳入本章的有关讨论之中;这不代表我们认可匀速直线运动会对时钟的运行速率产生任何影响。

评注2:在狭义相对论中,如果“静止”时钟的运行快慢以t表示,则相对于它做速度为v的匀速直线运动的时钟其运行快慢可以通过t’=t1-v2/c2)表示,所以二者的相对运行速率之差为[1-1-v2/c2],这正是以上的替代命题中出现的那个表达式。

评注3:由于当时钟机制原理1.8.3成立时,该原理的以上替代显然自动成立,但反过来却未必如此,所以所说的替代是原理1.8.3的推广。

原理1.8.4(时钟恒定速率机制,又叫时间均匀性机制)任一惯性系内的时间流逝都是均匀的,或者等价地,在研究者所关心的时间范围内,该惯性系内用于实现计时目的任何一只理想时钟或特定机制其速率都保持一个恒定的数值。

评注1:强调一下,这里的时间均匀性机制是关于同一惯性参照系内的所有时钟的,跟狭义相对论所说的因相对运动而发生的跨参照系钟慢效应并不矛盾——尽管我们在本章不仅不接受钟慢的说法,而且事实上证伪了它。

评注2:根据假定,作经典力学研究用途的理想时钟在所有惯性系内其时间流逝都以同一普适速率而均匀进行;而根据洛伦兹变换,作狭义相对论研究用途的理想时钟在同一惯性系内其时间流逝也是均匀的;只是当一个参照系内的观察者来衡量另一个参照系内的时钟时,其时间均匀性的事实虽不改变,但所得均匀性运行速率的大小却与该时钟原来所在参照系内的观察者所得的数值有所不同,二者的比例当然即是洛伦兹收缩因子1-v2/c2):1或其倒数。特别地,如果上述观察者相对于时钟是在做加速度运动,则在假定狭义相对论正确的前提下,他计量所得的时钟速率当然不再均匀,这从洛伦兹因子对计量结果的影响可以看得非常清楚。

评注3:虽然该原理提到了理想时钟与特定计时机制,但要想通过一般意义上的时钟来论证该原理的正确性或合理性应该还是颇具挑战性的,但是我们不要忘了匀速直线运动本身就是一种计时机制,所以我们就基于这一机制来进行论证;此时该时间均匀性原理的正确性可由运动的相对性与牛顿第一运动定律来共同保证,这是因为根据运动的相对性,处于匀速直线运动状态的两个物体对同一距离的认定总是发生于同一刻,且这种绝对的同时性是任何具体的计时方法都必须满足的先决条件,而根据牛顿第一定律,匀速直线运动又是这一基本物理规律的一种表现方式,从而基于匀速直线运动的计时方法(:即根据时间的流逝正比于两个物体之间的距离变化这一事实来度量时间,所用公式为t=d/v)有严格的理论基础。于是以上两个方面的结合即意味着时间的均匀流逝机制不仅可以成立,而且有坚实的物理基础,亦即空间的均匀性与牛顿第一定律的结合意味着时间的均匀流逝;更多细节可参见本节的命题1.8.12a1.8.12b

关于两只异地时钟之间的同步调节,我们有如下一些基本方法(:以下无延时方法IIIIII即命题1.8.51.8.6以及1.8.7属于有真假或正误之说的命题,故需论证,这些论证或解释都放在了命题之后的评注里了;而有延时方法即定义1.8.8在狭义相对论中是被视作人为规定的,所以这里按照定义来处理,因而它在这个理论中不存在真假或正误问题,故未作论证,但我们可以在经典力学的框架下审视该定义的自洽性,参见本章的1.10节):

命题1.8.5(时钟同步调节,无延时方法,I):假定两只时钟位于同一惯性参照系O’X’内的A’B’两处,且两只时钟的启动机制都是接触模式,即当外物接触时钟的某个特定部位如底座的中心时即可开启该时钟的运行机制;则当另一惯性参照系内与线段A’B’同向、同长的一维刚体ABB端接触启动时钟B’时,该一维刚体的A端将无延时同步启动时钟A’,于是A’B’这两只时钟便实现了经典意义下的同步调节;如以下图G

G


G.png

评注1:所说调节方法的理论基础是刚体长度比较原理1.4.1,或者是本章其它与之等价的有关结果如命题1.6.2与推论1.7.3a

评注2:由所说调节方法以及本章与此有关的其它命题可知,与刚体长度比较相关的“同步”不仅是有关同步(或同时性)概念的基本理论,而且是实现这样的同步(或同时性)的基本方法。

评注3:在所说调节方法中,我们选择了让时钟运动而用于启动它们的刚体静止,但反过来的情况显然也完全可行,即时钟所在的参照系A’O’B’静止而用于启动它们的刚体AOB运动;所以使用该调节方法时,时钟所在的参照系究竟是“动”还是“静”没有关系。

评注4(续评注3):事实上,在所说调节方法中,我们甚至可以选择在一维刚体AB的两端也各放一只时钟,并通过时钟与时钟之间的直接接触而启动所有时钟,从而在实现同一参照系内时钟的无延时同步的同时,也实现时钟A’B’与时钟AB之间的跨参照系无延时同步。

评注5:所说调节方法原则上可以推广到有加速度运动以及有万有引力作用的情况。

命题1.8.6(时钟同步调节,无延时方法,II):假定OX为任一给定的惯性系或非惯性系,AB两只时钟分别静止于该参照系内坐标为x1x2的两处,并假定用于对时目的的某种波动信号如声波或电磁波在OX内的传播速度具有均匀性与各向同性,并以c代表由此所定义的波速常数,以|AB|代表AB两点之间的距离。在以上前提下,假定对时信号于A钟时间的tA时刻离开A钟,并于B钟时间的tB时刻到达B钟,则AB两钟实现了无延时同步当且仅当tB-tA=|AB|/c=|x2-x1|/c。进一步,假定A’B’两只时钟或以速度v1v2分别独立地相对于参照系OX运动,或者二者相对于OX的运动不独立,但AB所在的物质参照系完全不能拖动波的媒介,在这些前提下,如果A’B’之间的对时信号于钟A’时间的t’A时刻从A’所处的瞬时位置x=x1处发出,并于钟B’时间的t’B时刻在B’所处的瞬时位置x=x2处被接收,则A’B’两钟实现了无延时同步当且仅当t’B-t’A=|x2-x1|/c

评注1:所说同步调节方法的背景参照系OX可以是惯性系,也可以是非惯性系;前者的例子如地心惯性系ECIGPS信号的传播,后者的例子如地心地固系ECEF(地表上)无风状态下的声波信号的传播。

评注2:对时信号传播速度的均匀性与各向同性是定义波速常数的必要的理论前提,换句话说,离开了所说的波速性质,则同步调节的目的便无法保证达到。

评注3所说调节方法其第一部分背后的逻辑:如果在对时信号出发那一刻AB两钟已经实现了无延时同步,比如其时间指示均为0时刻,从而tA=tB=0,则当信号经历了大小为|AB|/c的传播用时而到达B钟时,B钟的读数应为tB=0+|AB|/c=|AB|/c,于是tB-tA=|AB|/c,即命题中刻画无延时同步条件的式子是成立的。反之,如果tB-tA=|AB|/c,则tB-|AB|/c= tA,即对时信号到达B钟时该钟的读数扣除掉信号从A传播到B的用时刚好等于信号从A钟出发时A钟所记录下来的时刻,但对时信号到达B钟时该钟的读数扣除掉信号从A传播到B的用时理论上也就是当对时信号从A钟出发时处于异地的B钟对其进行超距即时记录而应该获得的时刻数值,所以以上结果表明AB两钟对信号从A钟出发这一事件所做的时间记录完全同步,于是AB两钟无延时同步的事实便得以清楚地显示。所述调节方法第二部分的逻辑与第一部分类似,这是由于对时信号的实际传播路径为从x=x1x=x2,由于波速为c,所以其传播用时为|x2-x1|/c,因而第一部分的分析仍然适用于这里,由此我们看到对时的决定因素不是A’B’两钟的运动状态或速度,而是信号在参照系OX内出发地的空间坐标、接收地的空间坐标以及波速常数c的大小。当然,一般来讲所说两个空间坐标的具体数值与两钟的运动速度有关,但问题是这些运动速度本身并不直接进入对时方程t’B-t’A=|x2-x1|/c之中。据此我们还可推知,A’B’两钟是相对于OX做匀速直线运动还是加速度运动没有关系,因为这一信息并不影响以上对时方法的成立。

评注4:如果使用的对时信号是机械波且波的介质具有均匀性与各向同性,则此时命题中所说的调节方法将适用于有关经典力学的相对性原理所成立的一切惯性系,不仅如此,它有时还适用于某些非惯性系,比如当介质在随着所说的非惯性系一起运动时即是如此;但如果使用的是电磁波,则所说调节方法将适用于有关光学与电磁学的相对性原理所成立的一切惯性系,而它在非惯性系则一般不可行;如在自转的地球上,光的传播速度就不具有各向同性。

评注5:应用时,方法1.8.51.8.6以及即将引入的方法1.8.7可以互为参照以便检验它们的正确性;此外,由评注4可以推知,检验相对性原理正确性的任何途径原则上都有助于确认方法1.8.6的正确性。

评注6:所说调节方法的第二部分要求两只时钟或者相对于参照系OX独立地运动,或者如果其运动不独立,则它们所在的物质载体不可以拖动波的介质,这样做其实不是没有原因的,这是为了确保即使对于运动的时钟而言,对时信号也仍然在相对于原有背景参照系OX以常数速度c传播,而不是相对于两只运动时钟中的一只或两只。介质被拖动的例子,如自转的地球在带动着其上的声波介质即空气随其一起运动,所以此时应用命题1.8.6时只能选择地心地固系ECEF(非惯性系)作为其背景参照系;而介质不能被拖动的例子,如自转的地球通常无法拖动电磁波介质随其一起运动,所以此时应用命题1.8.6时只能选择地心惯性系ECI(惯性系)作为其背景参照系。但读者须知,介质的拖动尤其是真空作为光或电磁波的传播介质被拖动的问题是一个非常微妙而富有挑战性的话题,在狭义相对论的洛伦兹变换的推导中,洛伦兹以及爱因斯坦正是在这一点上一时疏忽而犯下了严重错误;更多细节可参见本书“洛伦兹变换”或“相对性原理”等有关章节。

命题1.8.7(时钟同步调节,无延时方法,III):假定OX为任一给定的惯性系或非惯性系,且A’B’两只时钟或者静止或者运动但二者相对于参照系OX的运动状态却都是完全已知的;进一步,假定用于A’B’两钟实现对时目的的是某个已知的物理过程,该过程于A’钟时间的t’A时刻从钟A’处开启,并于B’钟时间的t’B时刻在钟B’处结束,再假定该物理过程从其离开钟A’再到其传播至钟B’这期间的实际用时为Δt,则A’B’两钟实现了无延时同步当且仅当t’B-t’A=Δt

评注1:当对时信号为声波、电磁波或其它波动时,这个同步调节方法对它们传播速度的均匀性与各向同性未作任何要求,所以它比同步调节方法1.8.6应用范围要广泛;不仅如此,同步调节方法1.8.5也可以视为以上调节方法当Δt=0的特殊情况。事实上,甚至可以认为以上方法原则上覆盖了所有经典同步调节方法;参见以下评注2

评注2:该调节方法用于非惯性系的例子,如在自转的地球上,分别位于地球同一纬线上东、西两处的时钟AB,当光信号从A处出发而向B处传播时其速度已被证实为c+v,其中v为地球在当地自转的线速度,如果假定AB之间的纬线长度l同时也是传送对时信号的光纤的长度,则光信号将花费Δt=l/c+v)从A传播至B。假定信号于A钟时间的tA时刻离开A钟,并于B钟时间的tB时刻到达B钟,则根据以上命题可知,AB两钟同步当且仅当tB-tA=Δt=l/c+v),这个结论的论证类似于命题1.8.6的评注3。如果对时信号是从B传播到A的,则结论应该调整为:AB两钟同步当且仅当tB-tA=Δt=l/c-v)。请读者注意,以上所说的情况不满足命题1.8.6的波速具有均匀性与各向同性这一要求,所以以上的分析乃是基于命题1.8.7,而不是命题1.8.6

评注3:读者须知,在时间与长度的度量单位确定之后,包括刚体的运动与波的传播在内的任何已知的物理过程都可以严格定义并精确测量速度,至少理论上如此,于是在所说前提下,命题中所说的物理过程从其离开钟A’再到其传播至钟B’这期间的实际用时Δt是完全可以依靠实验与已知的物理规律解决的问题,而不是像某些狭义相对论专家所声称或宣传的那样,对速度的测量需要以对时间(与空间)的测量为前提,同时,对时间的测量又必须以对速度的测量或假设为前提,因而光速或其它物理过程传播速度的大小以及其均匀性与各向同性只有通过约定才能解决,犹如爱因斯坦在相对的同时性定义中所做的那样;读者须知,这是一种极其严重的错谬与误导。特别地,就命题1.8.7中所说的物理过程而言,理论上,不仅时钟A’B’的运动状态如何影响对该过程的计时可以预知,而且参照系OX本身的运动如何影响对它的计时同样可以预知,不仅如此,在某些情况下,比如所使用的对时信号为波动,所说的这些影响还可以直接通过频率的改变而反映出来,因而不需要对时间或速度的直接测量,总之,命题中的Δt至少理论上是一个已知量或可知量,这恰恰正是命题1.8.7的逻辑基础,也是它可以涵盖此前的对时方法命题1.8.51.8.6的原因。

以上介绍的是无延时方法,以下再介绍有延时方法。

定义1.8.8(时钟同步调节,有延时方法):假定OX是任一给定的惯性参照系,两只时钟分别位于OX内的AB两处,c代表光速常数;再假定用于对时目的的光信号于A钟时间的tA时刻离开A钟,于B钟时间的tB时刻到达B钟并立刻被反射向A钟,而后它又于A钟时间的t’A时刻再次回到A钟,则AB两钟实现了狭义相对论相对的同时(或同步)当且仅当t’A-tB=tB-tA

评注1:当我们在经典力学领域对以上定义进行分析时,由于它未对光速做均匀性与各向同性的要求,光信号在往程与返程这两个阶段传播的速度未必相同,因而各自所花的时间(t’A-tB)与(tB-tA)也不一定相同,据此可知狭义相对论意义下的时钟同步一般并不等价于经典意义下的无延时同步;特别地,如果OX代表了有关光学与电磁学的相对性原理于其中成立的所谓“静系”,则通过所说调节方法所得时钟同步仍与经典同步等价,但如果此时AB两只时钟相对于OX作速度v0的匀速直线运动,则所得的时钟同步便不再等价于经典同步,这一点也可以从这个理论的洛伦兹变换的表达式中得到证明。

评注2(续评注1):以上评注表明,在狭义相对论中,“静系”所使用的其实是经典的同步概念,只有相对于“静系”以非零速度v运动的“动系”,其内的同时性才是真正的相对同时性。请读者注意,这里所说的“静系”、“动系”是就这个理论的洛伦兹变换的推导过程而言的,因为这正是狭义相对论暴露其问题的地方;至于这个理论最后所得的洛伦兹变换,由于它已经具有了对称性,所以对“静系”与“动系”的区分至少表面上不再有意义。

评注3:如果所说调节方法中所用的不限定于光信号,而是一般的波动信号,则我们可以得到一类时钟“同步”调节方法,它们所导致的同步概念也将同狭义相对论的同步概念具有类似的性质、问题以及缺陷。

评注4:狭义相对论相对的同时性具有诸多的问题与缺陷,以下简单列举其中的一些:1、理论基础的缺乏;比如这个理论的创立者不单默认了光信号为唯一合法的对时信号,而且默认了光信号在任一惯性系内的传播速度都是具有各向同性的常数c,然而这两个理论前提都是成问题的。2、适用范围的先天性缺陷;比如这个理论的创立者从来没有回答,或许根本就从未意识到,在一个完全没有光明或不存在电磁波发射与接收手段的世界里,可不可以以及如何实现两个异地时钟的对时问题。3、自洽性的缺失;比如根据这个理论,亲历了同一事件的两个不同观察者可以认定该事件发生于不同的时刻;还比如,在做自转运动的任何参照系内,如地球表面,这种同时性必然不可用,这是由于顺着地球自转方向传播的光速为c-v(姑且视作对时信号的往程),逆着地球自转方向传播的光速为c+v(视作其返程),其中v为地球在当地自转的线速度,所以当某条纬线上的一只时钟想通过绕地球一周的光信号与自己实现对时之时,便有tB-tA=l/c-v),t’A-tB=l/c+v),其中l为当地所在纬线圆周的长度,由于t’A-tBtB-tA,所以使用了狭义相对论的基于相对同时性的对时方法可以导致地球纬线上一只时钟不与自己同步的极其荒唐可笑的结果;但无延时同步调节方法IIIIII原则上不存在此类问题。

评注5:如所周知,狭义相对论对经典意义下两个异地事件的同时性一般是持否定态度的,比如在命题1.7.3b的证明中我们提到,对于“静系”内的两个同时性事件(x=0t=0)与(x=1t=0),它们在“动系”内的对应事件(x’=0t’=0)与(x’=1/1-v2/c2t’=-v/c2/1-v2/c2)并不同时;然而一般的读者所不知悉或未曾检视的是,这个理论其实还否定了经典意义下的同地同时性,比如根据这个理论的洛伦兹时间分变换t’=t-vx/c2/1-v2/c2),在“静系”空间的x=1处,“静系”时间的t=0这一刻对应于“动系”时间的t’= -v/[c21-v2/c2]这一刻,即对“静系”内的同一事件(x=1t=0),“静系”内位于x=1处的观察者与“动系”内瞬时通过x=1处的观察者对他们所亲历的同一事件的发生时刻的认定却产生了分歧;但另一方面,如果这两个观察者均利用来自事件(x=1t=0)的光信号直接根据定义1.8.8来对时,则不难发现他们的时钟必然指向同一时刻(:这是由于在所说情况下,对时信号的拟定传播距离等于零,因而任何可能的延时效应都必然消失)。

好了,有了时钟运行机制诸原理与时钟同步调节诸方法,我们便可以引入一个参照系的标准时间函数概念了:

定义1.8.9(标准时间函数,有时简称时间函数或时间变量;时钟运行机制函数;同时性调节函数,通常又叫等时线)一个参照系OX的标准时间函数是这样一个函数TOXtx),它如实地记录了位于这个参照系内任一坐标点x处的理想时钟的时间读数t的变化过程,其中当x固定时TOXtx)代表该处时钟的(自然)运行机制函数,而当t固定时TOXtx)代表该参照系所有时钟的(人为)同时性调节函数,后者又叫该参照系的(一条)等时线。

评注:如果一个标准时间函数TOXtx)与参照系无关,则我们就干脆省略其下标“OX”;或者有时在不致于引起歧义的前提下,我们也省略标准时间函数的下标。

命题1.8.10(经典意义下的标准时间函数):假定时钟运行机制1.8.21.8.3以及1.8.4同时成立,且时钟同步调节方法1.8.51.8.61.8.7其中的某一个被采用,则任一惯性系OX的标准时间函数都具有TOXtx=t的形式,它通常叫做经典时间变量。

证明:显然,一只时钟在启动之后某个时刻的读数以及不同时钟之间的相对快慢取决于两个基本因素:一是它们启动那一刻各自的初始读数,二是它们此后各自的运行速率;前者属于时钟的同步调节问题,而后者则属于时钟固有的运行机制问题。由于时钟运行机制1.8.2保证了同一惯性系OX内不同空间坐标点处的所有时钟都按照同一速率运行,以AOXt)表示由此决定并为各坐标点所共享的那部分时间记录,于是同一参照系内不同坐标点处的时钟其读数的差别便完全由它们之间的同步调节结果而决定,这个调节结果显然可以用一个仅含空间变量x的函数Bx)来刻画,它表示位于坐标点x处的那只时钟其初始时刻的读数为Bx)。这样,时钟的固有运行机制与同步调节这两部分时间贡献便共同构成了该参照系的标准时间函数TOXtx=AOXt+BOXx),其中的下标OX表示该函数与参照系OX有关。但时钟原理1.8.31.8.2的结合又保证了跨越任何两个惯性系的所有时钟都按照同一速率运行,于是AOXt)便成了与OX无关的At),它表示普适于所有惯性系的时钟运行记录结果,这样便有TOXtx=At+BOXx)。但根据时钟均匀性机制1.8.4又有At=kt+C1,其中k是一个与xt均无关的常数,C1是一个与xt以及参照系OX无关的常数。显然,如果必要,通过重新制定时间的单位,可以使k=1,于是At=t+C1。最后,时钟的经典同步调节方法1.8.51.8.61.8.7中的任一个的成立都意味着BOXx=C2,其中C2是与xt以及参照系OX无关的常数。于是经典时空下所有惯性参照系的标准时间函数都为Ttx=t+C1+C2t+C,其中C=C1+C2;特别地,如果必要对时间t的起点进行平移即tât-C:此即以t-C代替t),于是得Ttx=t,亦即不论“动”、“静”,所有惯性系内的所有时钟都在完全同步运行,如图H1)所示:

H

H1


H1.png


H2


H2.png


命题1.8.11(涉狭义相对论的标准时间函数表达式):假定时钟运行机制1.8.21.8.4以及1.8.3的狭义相对论替代同时成立,且时钟同步调节方法1.8.51.8.61.8.7之中的某一个在“静系”内被采用,而时钟同步调节方法1.8.8在任一给定的“动系”内被采用,则静系OX的标准时间函数为TOXtx=t;而任一“动系”的标准时间函数为TO’X’tx=k1t+k2x,其中k1k2为与xt无关但与v有关(因而也与O’X’有关)的常数,这里已经将TO’X’本应采用的“动系”内的空间坐标x’与时间坐标t’分别转化为了“静系”的xt

证明:证明过程类似于狭义相对论中的洛伦兹变换的导出,这里略;有关细节可参见本书“洛伦兹变换”一章,或者参考以下的评注1

评注1:根据狭义相对论中洛伦兹变换的推导步骤,这个理论中的“静系”OX的标准时间函数为TOXtx=t,亦即等同于经典意义下的标准时间函数,而相对于“静系”OX以速度v运动的“动系”O’X’的标准时间函数则为TO’X’t’x’=t’- vx’/[c21-v2/c2],这里AO’X’t’t’=t[1-v2/c2]为“动系”内的时钟运行机制函数(:请读者留心:(1)这里t’t之间的关系式实际上即是狭义相对论中描述“动系”与“静系”时钟速率之间关系的所谓钟慢效应表达式;(2)这里的t’与洛伦兹时间分变换(b2)中的t’含义不同,事实上,那里的t’相当于这里的整个标准时间函数TO’X’t’x’),见下文),而BO’X’x’ - vx’/[c21-v2/c2]为其同时性调节函数,若把O’X’的整个标准时间函数写成关于OX的时空坐标(tx)的函数并化简,则有TO’X’tx=t/1-v2/c2-vx/[c21-v2/c2],注意这正是洛伦兹变换的时间分变换(b2),其中依赖新的时间坐标t的时钟运行机制函数AO’X’t= t/1-v2/c2),依赖新的空间坐标x的同时性调节函数BO’X’x= -vx/[c21-v2/c2]。为了更直观地理解狭义相对论的同时性调节函数,我们以图H2)展示了这个理论下的时钟对时结果;图中,光速常数c=3*105 km/s,“动系”相对于“静系”的运动速度v=0.6c,“动系”内相邻两只时钟之间的距离x=7.2*108 km(即7.2亿公里)。从图中易见,“动系”内两只相邻时钟虽然在“动系”的时间系统下被视为“同步”或“同时”,但在经典的时间系统下它们之间其实相隔了刚好半个小时!

评注2:为了更好地理解以上评注1中所说“动系”内的同时性概念,让我们把本章的图E再拷贝如下:

E(再贴):


E.png

并如评注1那样假定“动系”相对于“动系”的运动速度为v=0.6c=1.8*105 km/s,“静系”内的刚体直线段AB与“动系”内的刚体直线段A’B’的长度均为l=7.2*108 km,且在“静系”时间的t=0这一刻点A’A的距离同时也是点B’B的距离为Δx=0.18 m。于是根据本章的命题1.6.2可知,不管是在“静系”还是“动系”看来,点B’B的重合都将发生于t=Δt=Δx/v=10-9 s这一时刻,同理,点A’A的重合也是这样。但根据狭义相对论,由于“动系”内B处的时钟与A处的时钟之间的同时不是经典意义上的绝对的同时,而是意味着B钟比A钟早了半个小时,所以在“动系”看来当点B’B重合时,点A’A并不立即重合,而是要等到半个小时之后;这是什么意思呢?这意味着在“动系”看来,当B’开始向前运动时,A’并不同步随它一起运动,而是必须等到大约半个小时后才开始行动,于是A’B’被极度扭曲拉长就是不可避免的结果;可是我们记住了,根据假设,刚体A’B’可是不允许变形的哟;不仅如此,当狭义相对论专家说刚体A’B’在以速度v=0.6c向前运动时,他们说的不是刚体作为一个整体在向前运动,因而构成刚体的所有质点都在同步同速运动,而仅仅是它的头部在运动,而其尾部却静止不动;请问科学上还有比这更加错误、更加荒谬的事情吗?

评注3:不难看出或理解,命题1.8.10是命题1.8.11的特殊情形。

为了稍后在本章的1.10节对同时性关于参照系选择的独立性进行理论刻画,我们有必要给出一个参照系内的两个事件在另外任一个参照系内看来也必然同时的充分必要条件,所以我们有:

推论1.8.11a(一对事件在两个不同参照系均为同时的充要条件):如果两个事件Ax1t1)、Bx2t2)在某个惯性参照系OX内为同时,则它们在任一另外的惯性系O’X’内也为同时的充分必要条件是t’1-t1= t’2-t2,其中t’1t’2分别为这对件事在O’X’内被赋予的时间坐标。

证明:根据命题1.8.11,参照系OX的标准时间函数为TOXtx=k1t+k2x,其中At=k1t为时钟运行机制函数,Bx=k2x为等时线;按照定义,等时线代表了所有空间坐标点上彼此都被认为同时的那些时钟的读数,但由于运行机制函数不含空间坐标x,所以它的数值普遍而等量地施加于等时线上的每一点,从而得到了一条新的等时线;不仅如此,时钟的运行机制函数不含x的特点,也决定了所有的等时线都只能通过这种方式来获得。于是可知,如果两个事件Ax1t1)与Bx2t2)在OX内为同时,则对于分别发生于x1x2两处的任何两个事件αx1s1、βx2s2来说,α、β被视为同时当且仅当存在某个t值使得s1=t1+k1ts2=t2+k1t,于是在事件投影的意义下,所有这些(s1s2)便是Ax1t1)与Bx2t2)在任一其它惯性系O’X’可以赋予的被视为同时的仅有的时间坐标数值对,这也就是说,如果以(t’1t’2)代表事件ABO’X’被赋予的时间坐标,则应该有t’1=s1= t1+k1tt’2=s2=t2+k1t,从而t’1t’2同时当且仅当t’1-t1= t’2-t2。证毕。

评注:以上推论是在涉狭义相对论的更一般的理论框架下导出的,所以它也适用于经典力学。

我们在本章的导读中曾经为牛顿关于时间的以下说法辩护(【Newton1687p. 77):“绝对、真实以及数学的时间,就其自身而言,亦即不需参照任何外部事物,总是均匀地流逝着。”那么读者可能会很想知道牛顿的看法有何依据,了解这样的依据当然也能增强读者对时间均匀性机制1.8.4的信心;事实上,关于惯性系内的时间均匀性,我们有:

命题1.8.12a(惯性系内的时间均匀性):如果一个物体正在牛顿第一运动定律的制约下相对于另一个物体做匀速直线运动,则以这种匀速直线运动的相对性为基础的同时性必然是绝对的,而由此所定义的时间变量则必然是普适的与均匀流逝的。

证明:命题的前一部分的证明可见本章1.4节“运动的相对性”;现在论证命题的后一部分。假定命题中所说的匀速直线运动速度为v,根据题设,v是一个恒定的常数,而再根据运动的相对性可知,由t=l/v所定义的是一个对两个运动物体及其所在坐标系内所有各点都普适的时间变量,其中l为两个物体之间的距离,t表示从运动开始(不失一般性地假设二者的初始位置重合)到两个物体之间的距离刚好为l时这中间所流逝的时间。由于速度v被定义为距离l关于时间t的(瞬时)变化率,即v=dl/dt,而v现在是一个常数,于是由表达式dl/dt=v可知,这个式子分母上的时间变量t的均匀性在逻辑上等价于分子上的空间变量l的均匀性,但空间的均匀性是包括经典力学与狭义相对论在内的所有有关运动学研究的一个基本前提(关于狭义相对论中空间与时间的均匀性,参见【Einstein1905】第三节),于是可知,空间的均匀性与牛顿第一运动定律下的匀速直线运动状态的存在这二者的结合确保了以上所定义的时间变量的均匀性流逝。命题证毕。

然而时间的均匀性不只是可以在惯性系内实现,实际上它在非惯性系以及有万有引力作用条件下同样可以实现,有以下命题为证:

命题1.8.12b(非惯性系内与万有引力条件下的时间的均匀性):如果一个天体(物体)正在万有引力定律的制约下相对于另一个天体(物体)做匀速圆周运动,则以这种匀速圆周运动的相对性为基础的同时性必然是绝对的,而由此所定义的时间变量则必然是普适的与均匀流逝的。

证明:与匀速直线相对运动类似,我们这里假定有两个刚体坐标系与做匀速圆周相对运动的两个天体分别固连,不同的只是,这里我们选择极坐标系而不是直角坐标系,如以下图I1)、(2)所示:

I1


I1.png


I2


I2.png


其中点A-X是与位于圆心的那个天体相固连的刚体极坐标系(被视为静系)上的点,而A’-X’则为与做圆周运动的那个天体相固连刚体极坐标系(被视为动系)上的点,且为了说明问题的方便,假定这些点中任何两个相邻的点总是等距的,于是可知与匀速直线相对运动的情况类似,在匀速圆周运动中点A’A的重合同点B’B的重合乃至同点X’点与X的重合,所有这些事件都是无延时同步发生的,据此可知,绝对的同时性可以在匀速圆周运动中建立起来。进一步,以静止刚体极坐标系内位于圆周上的某一点比如点A为参照,对其所对应的动点A’在时间间隔[0T]内所走过的弧长l进行度量,于是有l=vt,其中v为运动天体做匀速圆周运动的线速度。把前式改写为t=l/v,于是根据弧长l的大小变化即可定义所需的普适与均匀流逝的时间变量,其推理与匀速直线运动类似。事实上,简单地说,由于v=dl/dt是一个在万有引力定律与角动量守恒定律等天体运行规律制约下的恒定值,从而可知时间的均匀性等价于空间的均匀性,但有关空间的通行假设表明它是均匀的,于是时间的均匀性得以确认。证毕。

评注1:在图I1)中,绝对的同时性是在天体运行的圆周轨迹上沿着切线方向建立的,证据是运动质点A’-X’与静止质点A-X的分别重合是无延时同步发生的;其实,这种绝对同时性也可以沿着圆周的向径方向建立,如图I2)所示,证据是这里的动点a’-e’与它们对应的静点a-e的分别重合也是无延时同步发生的,读者可以思考为什么。这样,绝对的同时性不单可以通过刚体的平动来建立,而且可以通过刚体的转动来建立;如此同时性不单可以在所涉刚体的局部建立起来,而且可以在它们之上的所有各处都建立起来。

评注2:以上命题表明,绝对的同时性与时间的均匀性不仅可以通过匀速直线运动建立,而且可以在万有引力存在的前提下通过匀速圆周运动等加速度运动建立,特别地,所有这些情况下所依赖的都是刚体的性质,而与引力的存在与强弱以及运动的形式无关;这就不仅驳斥了狭义相对论所谓的时空的相对性,而且驳斥了广义相对论所谓的时空弯曲。

评注3:以上命题的证明过程中所用的刚体极坐标系模型不仅可以用于描述天体公转,而且可以用于描述天体自转;于是可知,同时性的相对性与时间均匀性还可以通过天体的匀速自转而建立。

评注4:在以上命题中,我们实际上默认了小天体与大天体其质量之比非常小以至于接近于零,从而小天体的运行轨迹非常接近正圆,于是我们以正圆为其近似而建立起了时间的均匀性;但在很多现实情况下,由于以上有关质量比的假设并不满足,所以天体的公转并不意味着严格的匀速圆周运动,比如对地球围绕太阳的运行轨迹的更好描述便是椭圆,尽管如此,这也并不妨碍我们把时间的均匀性作为实际情况可以逐渐逼近的理想模型;事实上,正如以上所暗示的那样,作为万有引力定律、牛顿运动定律、角动量守恒定律等天体运行规律的直接后果,这些天体于任何时候偏离匀速圆周运动的程度理论上应该都是已知的或可知的,于是就可以利用这种已知的偏离程度就来矫正时间计量上的不均匀因素,从而使之尽可能逼近均匀性的时间模型,而这也正是现代天文学与天体力学一直以来通行的做法。总之,均匀性时间模型可以作为现实情况无限逼近的理想模型,这是一个不争的事实,所以牛顿没有错,错的是指责他的那些相对论专家。

评注5:需要注意的是,同匀速直线运动有所不同,做包括匀速圆周运动内的加速度运动或处于万有引力场内的时钟,其运行速率可能会因加速度或引力场的影响而与处于惯性系内的时钟不一样,某些相对论专家正是基于此类证据以及其它证据去论证所谓的时间膨胀效应与时空弯曲效应的,但这样的推理依据完全不能成立,这是因为:(1)加速度运动究竟是减缓还是加快时钟的运行节奏这一点并非有一个确定性的结论,而是跟时钟的运行机制甚至放置姿态有关,同样的道理也适合于引力场内的时钟;(2)依靠匀速直线运动的运动相对性或匀速圆周运动等加速度运动的相对性所建立起来的绝对同时性优先于任何具体的计时方法,但如此运动相对性与牛顿第一定律、天体运行规律或其它物理规律的结合却意味着时间的均匀流逝。于是综合(1)、(2)可知,所谓时间膨胀或时空弯曲的说法纯粹是无稽之谈。

有读者可能会问:不是有专家声称全球定位与导航系统证明了狭义相对论的时间膨胀效应了吗?你怎么还在这里论证时间均匀性流逝问题?首先,如果钟慢效应真的存在于全球定位与导航系统的话,那它也不是匀速直线运动的结果,而是加速度的结果,所以专家所谓全球定位与导航系统证明了狭义相对论的时间膨胀效应注定是欺人之谈;其次,这些专家会辩解说,这样的效应属于广义相对论,这仍然是欺人之谈,因为决定所谓的钟慢效应大小的是运动速度本身,不是加速度;第三,所谓的钟慢效应与相对性原理直接矛盾;第四,所谓的钟慢效应也与刚体前提下的绝对同时性相矛盾;第五,所谓的钟慢效应同运动相对性与某些基本物理规律制约下的时间均匀性直接矛盾;最后,所谓的钟慢效应还与即将引入的时钟快慢机制对称原理直接矛盾。

评注6:提醒读者,时间的均匀性也是狭义相对论的基本前提之一(【Einstein1905】第三节,“homogeneity which we attribute to space and time”)。

所以,我们在本节的最后再引入一个时钟快慢机制对称原理:

命题1.8.13(时钟快慢机制对称原理)假定OX是任一惯性或非惯性参照系,并假定绝对的同时性已经在OX内实现,则对于OX内任何一只比标准时钟走得慢的时钟A来讲,在OX内一定对称地存在一只比标准时钟走得快的时钟B,反之亦然。

证明:由于绝对的同时性在OX内的实现意味着所有时钟都可以实现无延时同步调节,亦即所有时钟都总是在共享同一个具有某种绝对意义的当下一刻,据此可知只要任何一只时钟比标准时钟走得慢,就一定可以通过把本章1.8节所说的绝对同时性调节与自动控制理论中的负反馈机制相结合而制造一只比标准时钟走得快的时钟,且快时钟与慢时钟其时间记录刚好关于标准时钟的时间指示对称。反过来的道理类似。证毕。

评注1:由于狭义相对论默认其“静系”时间为经典时间,而其“动系”时钟的所谓钟慢效应又是相对于“静系”时钟而言的,所以“静系”时钟事实上已经被其默认为某种意义上的标准时钟,命题中的标准时钟权作这一理解;或者把标准时钟理解为由命题1.8.12a1.8.12b中的时间均匀性机制所决定的时钟。

评注2:所说命题清楚地表明,时钟的快慢与时间的快慢是完完全全的两回事,因而把运动或引力条件下的时钟可能变慢归因于时间膨胀,不是脑袋糊涂,便是别有用心。

 

1.9几种同时性的定义、其基本性质以及相互关系

一旦有了有关时钟运行机制及其同步调节方面的基本知识,我们便可以引入并探讨有关同时性的概念与理论了;所谓同时性就是指两个异地事件的发生是否同时以及这种同时是在何种意义下所定义的问题。

首先,为了研究两个事件之间的同时性问题的需要,我们有时把某个事件与特定的坐标系联系起来,所以有:

定义1.9.1(事件与参照系的所属关系):假定OX是任一给定的参照系,如果xOX内的任一给定点,而tOX内经典时间变量的任一给定值,则称形如(xt)的事件属于OX

评注:这里提醒读者,事件(xt)属于OX不一定意味着参照系OX就是事件(xt)的物理载体,即该事件的诱因以及发生过程局限于该参照系;事实上,(xt)可以是发生于另外某个参照系内的事件在OX内的投影,正因为如此,一个事件可以属于两个或多个不同的坐标系,所以明确一个事件与一个坐标系之间的所属关系只是为了研究问题的方便。更多细节可参见稍后的投影事件概念以及与之有关的命题。

定义1.9.2(跨参照系事件):如果两个事件分属于两个不同的参照系,则称它们为跨参照系事件。

评注:根据定义,所涉两个参照系之间的相对运动速度v已被假设为不等于零。

其次,在研究事件之间的同时性问题时,通常还需要把属于一个坐标系的事件变换为属于另一个坐标系的事件,所以有:

定义1.9.3(事件的投影):如果坐标系O’X’OX处于匀速直线相对运动状态,则OX内的任一事件(xt)可以依据伽利略坐标变换(a1)、(a2)转化为O’X’内的事件(x’t’=x-vtt),后者叫做前者在O’X’内的投影事件;类似地,对于O’X’内的任一事件(x’t’),它在OX内的投影事件为(xt=x’-v’t’t’=x’+vtt)。

评注:由定义可知,一个事件(x’t’)与其投影事件(xt)本质上是同一事件,这是因为:首先,根据伽利略变换,有t=t’成立;其次,再根据投影事件的定义,在tt’这一刻xx’重合,因而所说两个事件的时空坐标是一致的,所以它们乃是同一事件。虽然如此,定义投影事件并非没有意义,因为这样做可以方便或简化有关同时性问题的研究。

我们要引入的第一个同时性概念叫做坐标同时性:

定义1.9.4(坐标同时性):假定事件Ax1t1)与Bx2t2)同属于惯性参照系OX,则称它们为坐标同时当且仅当二者在OX内的经典时间变量下是同时的,即t1=t2。再假定O1’X1O’2X’2为相对于OX做匀速直线运动的任意两个惯性参照系(:其运动速度可以为零),A’x’1t’1)与B’x’2t’2)为分属于O’1X’1O’2X’2的两个事件,而Ax1t1)与Bx2t2)为它们在参照系OX内的投影事件,则称A’x’1t’1)与B’x’2t’2)在参照系OX内为坐标同时当且仅当其投影事件Ax1t1)与Bx2t2)在OX内为坐标同时,亦即当且仅当t’1=t1=t2=t’2

坐标同时性貌似有赖于参照系的选择,但实际上并非如此,为此我们论证以下命题:

命题1.9.5(坐标同时性相对于参照系选择的独立性):若两个事件在某一个惯性参照系内看来为坐标同时,则它们在所有其它的惯性参照系内看来都为坐标同时,亦即坐标同时性与参照系的选择无关。

证明:假定事件A’x’1t’1)与B’x’2t’2)如坐标同时性定义中所说,并假定二者在惯性参照系OX内看来为坐标同时;于是根据定义,这意味着A’x’1t’1)与B’x’2t’2)在OX内的投影事件Ax1t1)与Bx2t2)在OX内为坐标同时,亦即t’1=t1=t2=t’2成立。现在假定O’’X’’为相对于OX运动的任一其它惯性参照系,我们需要论证A’x’1t’1)与B’x’2t’2)在参照系O”X”内看来也为坐标同时,而根据定义,为此只需证明二者在O”X”内的投影事件A”x’’1t’’1)与B’’x’’2t’’2)在O”X”内为坐标同时即可。但根据投影事件的定义,A”x’’1t’’1)与A’x’1t’1)本质上是同一事件,从而t’1= t’’1,类似地,B’’x’’2t’’2)与Bx’2t’2)也是如此,从而t’2= t’’2。于是由t’1=t’2即知t’’1= t’’2,从而A”x’’1t’’1)与B’’x’’2t’’2)在O”X”内为坐标同时。最后,再由参照系O’’X’’的任意性可知,命题得证。

评注1:由于坐标同时性与参照系的选择无关,所以在讨论或论证坐标同时性的某些基本性质时可以根据需要选定合适的参照系。

评注2:坐标同时性的一个基本特点是:一个事件同它在任一惯性参照系内的投影事件总是坐标同时的,或者等价地,一只运动时钟在与它的静止同类相遇的那一瞬间二者总是指向时间的同一刻;以上特点实质上描述了某种同时性为自洽的充分必要条件,参见本章的1.10节“自洽的同时性”。

其实,坐标同时性概念与参照系的选择无关这件事不是偶然的,这是由于坐标同时实际上即意味着无延时同步,而无延时同步概念却是独立于参照系的选择的,所以我们有:

命题1.9.6(坐标同时与无延时同步的等价):两个事件为坐标同时当且仅当它们无延时同步发生。

证明:如果所说的两个事件同属于一个惯性参照系,则根据坐标同时的定义直接可知,二者无延时同步发生;如果所说的两个事件分属于不同的参照系,则根据投影事件的定义与性质以及同一参照系内的坐标同时性定义,仍然可知这两个事件无延时同步发生,于是命题得证。

除了与参照系的选择无关这一性质之外,坐标同时性还有自反性、对称性以及传递性等基本性质,这些性质连同它关于参照系选择的独立性可以确保坐标同时性这一概念扩展到或应用于相互之间处于匀速直线运动状态的所有惯性系,所以我们有:

命题1.9.7(坐标同时性的基本性质):坐标同时性具有以下基本性质:a自反性,即任一事件都与自己坐标同时;b对称性,即对两个事件AB来说,如果AB坐标同时,则BA必坐标同时;c传递性,即对于三个事件ABC来说,如果AB坐标同时,而B又与C坐标同时,则AC必坐标同时。

证明:根据坐标同时性的定义以及命题1.9.5,只需对同一惯性参照系内的有关事件讨论其同时性关系以及这种同时性的有关性质。由于同一参照系内Ax1t1)与Bx2t2)为坐标同时当且仅当t1=t2成立,而等式t1=t2显然具有:(1)自反性,即t1=t1对于任何时间变量数值t1成立;(2)对称性,即如果t1=t2成立,则t2=t1必成立;(3)传递性,即如果t1=t2t2=t3均成立,则t1=t3必成立;于是可知坐标同时性也具有以上三个性质。

我们要引入的第二个同时性概念与刚体运动的某些基本性质有关:

定义1.9.8(刚体运动同时性,简称运动同时性):假定事件Ax1t1)与Bx2t2)同属于惯性参照系OX,则称它们为刚体运动同时当且仅当存在长度为|x2-x1|的一维运动刚体A1B1,当B1于时刻t2x2重合时,A1则刚好于时刻t1x1重合。进一步,假定O1’X1O’2X’2为相对于OX做匀速直线运动的任意两个惯性参照系,其运动速度分别为v1v2v1v2可以为零),而A’x’1t’1)与B’x’2t’2)为分属于O’1X’1O’2X’2的两个事件,则称A’x’1t’1)与B’x’2t’2)为刚体运动同时当且仅当它们在参照系OX内的投影事件Ax1t1=Ax’1+v1t’1t’1)与Bx2t2=Bx’2+v2t’2t’2)为刚体运动同时。

评注1:以上定义的理论基础是命题1.6.21.6.3;其实现方法则为时钟同步调节方法1.8.5

评注2:定义中刚体A1B1相对于参照系OX的运动速度v显然是一个与定义的成立无关的量,亦即它可以在非零数值中任意选取。注意,当v=0时定义其实失效。

评注3:在刚体运动同时性的定义中,我们没有直接要求两个事件的时间坐标相等以便它们成为经典意义下的同时事件,但刚体运动的基本属性却潜在地决定了这一点;此前我们已经提到了这一点,但稍后我们还会对此进行论证。

评注4:刚体运动同时性的定义与性质可以推广到曲线运动如匀速圆周运动或其它加速度运动的情形,正如命题1.8.12b以及其后的评注所指出或暗示的那样。

评注5:表面上看,刚体运动同时性是一个与参照系有关的概念,但实际上并非如此,为此我们以下将对刚体运动同时性跟参照系的选择无关这一命题进行论证。

命题1.9.9(刚体运动同时性跟参照系的选择无关):若两个事件在某一个惯性参照系内看来为运动同时,则它们在任一其它惯性参照系内看来也为运动同时,亦即运动同时性与参照系的选择无关。

证明:假定事件A’x’1t’1)与B’x’2t’2)如刚体运动同时性定义中所说,并假定二者在惯性参照系OX内为运动同时;于是根据定义,这意味着A’x’1t’1)与B’x’2t’2)在OX内的投影事件Ax1t1)与Bx2t2)在OX内为运动同时,从而知有长度为|x2-x1|且相对于参照系OX运动的一维刚体A1B1,当B1于时刻t2x2重合时,A1则刚好于时刻t1x1重合,且刚体A1B1相对于OX运动的速度可以在所有非零实数集合中任意选取。现在假定O’’X’’为相对于OX运动的任一其它惯性参照系,我们需要论证A’x’1t’1)与B’x’2t’2)在参照系O”X”内也为运动同时,而根据定义,为此只需证明二者在O”X”内的投影事件A”x’’1t’’1)与B’’x’’2t’’2)在O”X”内为运动同时即可。但根据投影事件的定义,A”x’’1t’’1)与Ax1t1)本质上乃是同一事件,从而t1= t’’1,且在这一刻x1x’’1重合,类似地,B’’x’’2t’’2)与Bx2t2)也是如此,即有t2= t’’2,且在这一刻x2x’’2重合。但既然对于刚体A1B1而言,当B1于时刻t2x2重合时,A1则刚好于时刻t1x1重合,于是在上述有关命题中进行等量置换之后可知:(1)当B1于时刻t’’2x’’2重合时,A1则刚好于时刻t’’1x’’1重合;再由刚体长度比较原理1.4.1可知:(2|x’’2-x’’1|=|x2-x1|=|A1B1|。请注意,x’’1x’’2均为参照系O’’X’’内的定点,于是只要所选择的刚体A1B1相对于OX的运动速度与O”X’’相对于OX的运动速度不一样,则可保证A1B1相对于参照系O’’X’’以及相对于静止于其内的刚体直线段A’’B’’的运动速度为非零,这一结论连同以上的条件(1)、(2)一起便满足了运动同时性定义中所有条件,因而它们表明A”x’’1t’’1)与B’’x’’2t’’2)在O”X”内为运动同时,于是A’x’1t’1)与B’x’2t’2)在参照系O”X”内也为运动同时的结论得证。最后,再由参照系O’’X’’的任意性可知,原命题得证。

与坐标同时性类似,刚体运动同时性也有以下基本性质:

命题1.9.10(运动同时与无延时同步的等价):两个事件为运动同时当且仅当它们无延时同步发生。

证明:由于运动同时性基于同向、同长的两个刚体直线段的长度的比较,故由刚体长度比较原理1.4.1或命题1.6.21.6.3可知,两个事件为运动同时意味着它们无延时同步。证毕。

推论1.9.10a(运动同时性与坐标同时性的等价):运动同时性与坐标同时性是彼此等价的。

证明:根据命题1.9.6与命题1.9.10,坐标同时性与运动同时性都等价于无延时同步,故二者彼此等价。

与坐标同时性类似,运动同时性也有自反性、对称性以及传递性等基本性质,所以我们有:

命题1.9.11(运动同时性的基本性质):运动同时性具有以下性质:a自反性,即任一事件都与自己运动同时;b对称性,即对两个事件AB来说,如果AB运动同时,则BA必运动同时;c传递性,即对于三个事件ABC来说,如果AB运动同时,而B又与C运动同时,则AC必运动同时。

证明:根据运动同时性的定义以及命题1.9.9,我们只需针对同一惯性参照系内的有关事件进行论证。

(a)      关于自反性。在运动同时性的定义中,如果AB代表同一事件,则定义中的结论显然自动成立,所以运动同时性具有自反性。

(b)     关于对称性。如果Ax1t1)与Bx2t2)为运动同时,则由定义知,有与AB同长、同向的运动刚体A’B’,当B’Bt2时刻重合时,A’A必于t1时刻重合,于是可知所给事件Ax1t1)同A’A重合这一事件本质上是同一事件,而类似地,所给事件Bx2t2)同事件B’B重合这一事件本质上也是同一事件,但根据刚体长度比较原理,或者根据命题1.6.2与其后的评注1,事件A’A重合不仅同步于事件B’B重合,而且这种同步关系具有对称性,于是可知Bx2t2)反过来也与Ax1t1)运动同时,从而对称性成立。

(c)      关于传递性。假定Ax1t1)与Bx2t2)为运动同时,而Bx2t2)又与Cx3t3)为运动同时,欲证Ax1t1)与Cx3t3)为运动同时;为此需证明有长度为|x3-x1|的一维运动刚体A’C’,当C’t3时刻与x3重合时,A’刚好于t1时刻与x1重合时。先考虑x1<x2<x3的情形,并假定一维运动刚体A’C’具有所需长度|x3-x1|= x3-x1,如以下图J

J


J.png

由于x3-x1=x2-x1+x3-x2),为了利用已知条件,先在刚体A’C’上标记出某个点B’,使得|A’B’|=x2-x1),|B’C’|=x3-x2)。于是当点C’C于时刻t3重合时,由事件BC为运动同时可知,点B’B刚好于时刻t2重合,以此为前提,再由事件AB为运动同时可知,当点B’B于时刻t2重合时,点A’A刚好于时刻t1重合,至此,条件x1<x2<x3下的传递性证明得以完成。其它情况的证明类似,读者可作为练习(:根据已证的对称性,还剩两种情况需要完成;为什么?)。

评注:前面我们看到了坐标同时性与运动同时性都具有自反性、对称性以及传递性,那么由时钟同步调节方法1.8.8所实现的狭义相对论相对同时性是否也具有这些性质呢?按照【Einstein1905】中的说法,情况的确如此;但读者须知:这样的结果具有某种欺骗性,这是由于它的对称性不是一种像坐标同时性那样的无条件对称,而是通过引入一个对称性前提而实现的一种有条件对称,而其实质仍是不对称的;比如在命题1.8.11后的评注12中,考察“动系”内左右两只相邻的时钟AB,虽然BA快了半小时,但按照狭义相对论的“动系”内的同时性概念,既可以说BA同步,也可以说AB同步,但在经典力学中,“BA快了半小时”的对称说法应该是“AB快了半小时”。如上所说,之所以导致上述情况乃是因为狭义相对论同时性概念有一个对称性前提,即t’A-tB=tB-tA,所以因此而掩盖了问题的实质。

前面我们已经看到,运动同时性与坐标同时性是等价的,但其实这件事还可以从一个更具启发性的角度来进行论证,为此我们需先做一些准备工作。

首先,由于我们有时需要把两个事件的空间坐标单独提取出来以便进行研究或讨论,所以有:

定义1.9.12(两个事件的准空间距离,又叫准距离):两个事件在某个特定参照系内的投影事件其空间坐标点之间的距离称作这两个事件在该坐标系内的准空间距离,简称准距离。

评注:根据定义,两个事件的准空间距离是一个与坐标系的选择有关的概念,至少表面上如此。

命题1.9.13(跨参照系事件为坐标同时的充分必要条件):两个跨参照系事件为坐标同时的充分必要条件是它们在所涉的两个参照系内的准空间距离相等。

证明:假定O’X’OX是处于速度为v的匀速直线相对运动状态的两个参照系,而(x’1t’1)与(x2t2)为分属于O’X’OX的两个事件,于是由跨参照系假设,v0。根据伽利略变换(a1)、(a2),即x’=x-vtt’=t,或等价地,x=x’+vt’t=t’,于是有x1=x’1+vt’1x’2=x2-vt2,从而(x2-x1=x2-x’1+vt’1= x2-x’1-vt’1,以及(x’2-x’1=x2- vt2-x’1= x2-x’1-vt2,比较此前的两个方程可知(x2-x1=x’2-x’1)成立当且仅当-vt’1= -vt2,而当v0时,后一条件又等价于t’1=t2,于是根据坐标时间的定义可知命题成立。证毕。

评注:易见当v=0时两个坐标系成了同一坐标系,这时的准空间距离只有一个,虽然这个准距离将自动与其自身相等,但由于v=0,故无法从-vt’1= -vt2解出t’1=t2,因此此时命题不成立。

推论1.9.13a(运动同时性与坐标同时性的等价):对于同向、同长且处于匀速直线相对运动状态的两个刚体直线段A’B’AB,其端点A’A的重合同端点B’B的重合这两个事件必然为坐标同时,因而运动同时性与坐标同时性等价。

证明:由于所说的两个刚体直线段其端点的重合一定涉及两个不同的参照系,所以所说的两个事件必然都为跨参照系事件;其次,由于所说的两个事件在两个坐标系内的准空间距离(此即两个刚体直线段的长度)显然相等,所以推论的前一部分成立,即所说的两个事件为坐标同时;又由于推论中所涉及的两个事件即是刚体运动同时性定义中的那两个事件,所以运动同时与坐标同时其实是一回事,亦即二者是等价的。

评注:运动同时性与坐标同时性虽然在逻辑上等价,但二者的物理意义却并不完全相同,事实上,正如我们此前已经看到的那样,前者提供了实现或检验后者的一种现实的方法。

以上我们看到同时性可以根据实现它的物理机制划分为坐标同时性与运动同时性,但同时性还可以按照其自身的性质来划分,所以我们有:

定义1.9.14(绝对的同时性;相对的同时性):如果某种同时性基于相速处处为无穷的对钟信号而建立,或者物理上等效于如此,则这种同时性叫做绝对的同时性;绝对同时性之外任何其它的同时性概念叫做相对的同时性。

命题1.9.15(运动同时性与坐标同时性的绝对性质):刚体运动同时性与坐标同时性都是绝对的同时性;在狭义相对论的洛伦兹变换的推导过程中,所谓的“动系”内所建立的同时性是相对的同时性。

证明:根据命题1.9.61.9.10,坐标同时性与运动同时性都基于时钟的无延时同步对时方法而建立,而无延时同步意味着如此同步所诱发的相速为处处无穷,所以它们均为绝对的同时性。另一方面,如所周知,由于狭义相对论相对的同时性在所谓的“动系”中不满足经典同步亦即无延时同步这一条件,所以它一定是相对的同时性。

评注:显然,以上所定义的相对的同时性是比狭义相对论相对同时性意义更广泛的一个概念,或者换个说法,一般意义上的相对同时性不只包含狭义相对论相对的同时性这一种;比如基于声波信号且以与狭义相对论相对同时性相类似方式定义的同时性就是一种与之不同的相对的同时性。

同狭义相对论相对的同时性不同的是,绝对的同时性不是简单的人为调节的结果,它更像是自然规律之下的必然;事实上,我们有:

命题1.9.16(运动相对性与绝对同时性的关系):绝对同时性既是运动相对性的本质反映,也是它的必然后果。

证明:我们以运动相对性中的距离相对性为例进行论证,请同时参考本章1.4节“运动相对性”中的图A1)、(2)。由于距离的相对性意味着处于相对运动状态的两个物体O’O在对二者普适的任一刻t对它们之间的同一距离数值d的异地同步认可,所以这种异地同步亦即绝对的同时反映了运动相对性的实质。其次,这种异地同步亦即绝对的同时又是刚体长度比较原理的直接后果,它是运动相对性的核心内容与不可分割的一部分,所以它又是运动相对性的必然后果。证毕。

评注:所说命题表明,相对于任何具体的计时方法与时钟机制而言,绝对的同时性是其必须满足的先验特质,而不是可以人为选择去拒绝或接受的东西。

前面谈到了狭义相对论相对同时性与此前所定义的绝对同时性的区别,其实二者还有如下至少形式上存在的联系:

命题1.9.17(绝对同时性与狭义相对论相对同时性的关系):当且仅当狭义相对论相对的同时性定义中所用对钟信号的传播速度c的数值趋向于无穷时,狭义相对论相对的同时性才趋向于绝对的同时性。

证明:先证充分性。根据一维空间上的洛伦兹变换(b1)、(b2),“动系”内任一事件(x’t’)与它在“静系”内的对应事件(xt)以关系式x’=x-vt/1-v2/c2)与t’=t-vx/c2/1-v2/c2)相互联系,其中c为光速常数;显然,当câ时以上式子趋于其极限情况x=x-vtt’=t,而这恰好是经典力学的伽利略变换,所以我们断定狭义相对论相对的同时性已经转化为了经典力学的绝对同时性,故充分性成立。再证必要性。如果对钟信号的速度c只保持有限值而不趋向于无穷,则对于“静系”时间的同一时刻t,只要“动系”内两个点的空间坐标x’1x’2不同,或者等价地,只要它们对应的“静系”内的空间坐标x1x2不同,则根据以上洛伦兹时间分变换可知,这两个事件的时间坐标t’1t’2就必然不同,这同绝对的同时性显然相互矛盾,故必要性成立。证毕。

 

1.10同时性的自洽性以及它关于参照系选择的独立性

前面我们看到,经典的同时性亦即坐标同时性或运动同时性具有自反性、对称性以及传递性,不仅如此,经典的同时性还具有相对于参照系选取的独立性以及相对于任何计时方法的先验特点;然而经典的同时性还有一个极其重要的性质,这便是本节准备介绍的自洽性,而从现实应用的角度而言,这也是任何同时性所应具备的最重要的特质。

先回忆一下:任何一个具体的计时系统都决定或默认了它采用哪一种同时性概念;反之,任何一种同时性概念理论上都从属于某种具体的计时方法或计时系统。

定义1.10.1(自洽的同时性):如果在某种同时性所从属的计时系统下不可能出现处于不同运动状态的观察者对同一物理事件或现象赋予不同发生时刻的情况,则称这种同时性为自洽的。

命题1.10.2(同时性自洽的等价表述):一种同时性为自洽的充分必要条件是在其所从属的计时系统下任何两只在匀速直线运动中相遇的时钟都必然指向时间的同一时刻。

证明:将计时系统的定义同自洽的同时性概念这二者结合即可得所说命题中的结论。

命题1.10.3(同时性自洽的充分必要条件):一种同时性为自洽的充分必要条件是在其所从属的计时系统下所有的时钟都是无延时同步的。

证明:先证充分性。假定在某种同时性所从属的计时系统下所有的时钟都是无延时同步的,于是这首先意味着对于任意给定的某个惯性参照系OX,静止于其内所有各处的时钟都是无延时同步的,不仅如此,所说假设还意味着对于相对于OX运动的任一惯性参照系O’X’而言,静止于其内的任一时钟同静止于OX内的任一时钟也是无延时同步的,于是可知任何两只在运动中相遇的时钟必然指向时间的同一时刻,从而根据命题1.10.2可知,所说的同时性是自洽的。再证必要性。假定某种同时性是自洽的,我们需证在其所从属的计时系统下所有的时钟都是无延时同步的,为此我们考虑任一给定的惯性参照系OX以及相对于OX运动的另外任一惯性参照系O’X’,并假定时钟原理1.8.21.8.4以及原理1.8.3的狭义相对论替代在OXO’X’内均成立。由于OX内所有各处的时钟其运行速率都是一样的,因而决定这些时钟的时间指示先后顺次的只能是仅与空间变量有关的同时性调节结果亦即等时线,从而参照系OX的标准时间函数可以写成Ttx=At+Bx),其中At)代表OX内的所有时钟其共同的运行速率所贡献的那部分与空间坐标无关的时间变量数值,Bx)则代表OX内的所有时钟按照某个既定原则实行同时性调节时所贡献的那部分仅与空间坐标有关的时间变量数值,它之所以又叫做参照系OX的等时线,乃是因为当自变量x变化时所有这些函数值Bx)都被视为所给定的那个同时性概念下的同一时刻。同理,参照系O’X’的标准时间函数可以写成T1t’x’=A1t’+B1x’),但是由于原理1.8.3的狭义相对论替代假定了t’t之间确定的函数关系,从而A1t’)可以写成关于t的函数,我们仍以A1t)表示之,于是有T1t’x’=A1t+B1x’)。现在假定O’X’相对于OX的运动速度为v,且在t=0这一刻二者的坐标轴与坐标原点完全重合,于是根据伽利略变换,在任一给定的t>0这一刻,O’X’内坐标为x’的点刚好运动到了OX内坐标为x=x’+vt的点处,但根据题设,O’X’内静止于x’处的时钟在与OX内静止于x=x’+vt处的时钟相遇之时,二者的时间变量是指向同一时刻的,于是对于任意给定的x’t,都有A1t+B1x’= [At+Bx]|x=x’+vt= At+Bx’+vt)成立,其中“|x=x’+vt”表示它前面的函数要在x=x’+vt处取值。将上式改写,得

A1t-At=Bx’+vt-B1x’)……(c1

以下将从(c1)式出发来证明在所说计时系统下的所有时钟都是无延时同步运行的。首先,我们注意到(c1)的左端与空间坐标x’无关,于是在(c1)的两端关于x’求偏导数得,0= [ A1t-At]/ x’=[dBx/dx]|x=x’+vt *[x/ x’]–dB1x’/dx’,化简即[dBx/dx]|x=x’+vt =dB1x’/dx’。注意所得方程的左端一般来讲是关于x=x’+vt的从而也是关于t的函数(:这意味着x’t或者随着x的存在而同时出现,或者随其不存在而同时消失),而方程的右端却与t无关,显然这种情况只有在左右两端都等于同一个既与x无关也与x’无关的常数k时才有可能(:右端的表达式dB1x’/dx’意味着k也必然与t无关),即[dBx/dx]|x=x’+vt =dB1x’/dx’=k,于是积分可得,Bx=kx+lB1x’=kx’+l1,其中ll1为与xx’以及t无关的常数。将所得结果代入(c1)式并化简得

A1t-At=kvt+l-l1)……(c2

不失一般性地假设A10=A0),否则则可通过调整Bx)与B1x’)表达式中的常数项而达到这一目的,于是有(l-l1=0,亦即l=l1。这样式子(c2)便成为了

A1t-At=kvt……(c3

但根据假设,特别是原理1.8.3的狭义相对论替代的成立,在v/cÚ0的条件下有|kvt|=| A1t-At|[1-1-v2/c2]t1/2)(v2/c2t,其中我们已经默认不等号右边的因子t即是经典同时性下的标准时间变量t=At=Txt)(:狭义相对论中“静系”内的时间变量也是如此),显然当t>0v0v/cÚ0时,以上情况亦即|kvt|1/2)(v2/c2t发生的唯一可能是k=0,注意我们已有l=l1,于是再从(c3)以及Bx)与B1x’)的已知表达式可知,对于任意的t>0

A1t=At)……(c4

以及对于任意的xx’

B1x’=Bx=l(常数)……(c5

等式(c4)表明OXO’X’内的所有时钟都是以同一速率运行的,而等式(c5)则表明,所有这些时钟都是按照绝对的同时性来实现无延时同步调节的。于是命题得证。

评注:同时性的自洽性其定义的逻辑基础是这样的:不管两个观察者的运动状态如何,它们对同地同时问题亦即对它们所亲历的同一事件的发生时刻的认定不应该有任何分歧,这一点在经典力学中的成立当然不是问题,而它之所以也在狭义相对论中成立,乃是因为该结论是利用源于这两个观察者的相遇这一事件的光信号来现实二者的时钟对时的必然结果,参见定义1.8.8后的评注5;有意思的是,表面上狭义相对论专家也不否认以上结论,但事实上,我们已经看到狭义相对论在否定经典的异地同时性的同时(参见命题1.7.3b的证明或以上所说的评注5),也否定了经典的同地同时性(参见以上所说的评注5或以下推论1.10.3a的证明),这才是这个理论真正的问题所在。我们将在本书的“相对的同时性”一章系统地探讨这一问题。

推论1.10.3a:坐标同时性与运动同时性都是自洽的,但狭义相对论相对的同时性却是不自洽的。

证明:关于命题的前一部分的证明:由坐标同时性的定义可知,位于同一惯性参照系OX内的所有时钟都是无延时同步运行的;现假定O’X’为相对于OX运动的另外一个惯性参照系,由于坐标同时性意味着O’X’内的任一事件与其在OX内的投影事件总是同时的,于是可知位于O’X’内的任一时钟总是与OX内与它瞬时相遇的那只时钟必然指向时间的同一刻,亦即二者为无延时同步,据此可知坐标同时性下的所有惯性参照系内的所有时钟都是无延时同步运行的,于是根据以上命题(同时性自洽的充分必要条件)可知,坐标同时性是自洽的;又由于运动同时性与坐标同时性等价,所以运动同时性也是自洽的。关于命题的后一部分的证明:根据洛伦兹时间分变换t’=t-vx/c2/1-v2/c2)可知,在“静系”内坐标为x的地方,“静系”内的观察者与“动系”内的观察者所认定的同一事件(xt)的发生时刻分别为tt’=t-vx/c2/1-v2/c2),显然当x0v0时这两个时刻并不相同,所以根据定义,狭义相对论中相对的同时性是不自洽的。证毕。

推论1.10.3b:从等价的意义上讲,坐标同时性是唯一自洽的同时性。

证明:首先,由于在坐标同时性所从属的计时系统下所有的时钟都是无延时同步的,所以根据以上命题(同时性自洽的充分必要条件),或直接根据其推论1.10.3a,坐标同时性是自洽的;其次,在以上命题中我们还证明了,自洽的同时性必然意味着所有时钟的无延时同步,所以这种同时性必然等价于坐标同时性。于是命题得证。

评注:坐标同时性的自洽特征不仅可以在惯性系内建立,而且可以在包括曲线运动、其它加速度运动以及万有引力在内的最一般的物理条件下建立,正因为如此,它是现代天文学家、天体力学家以及卫星定位与导航专家唯一的宠儿;对此请参见【Standish1992pp. 294-297;【Flandern1998p. 1;【Ashby2002pp. 41-42等;而如前所述,狭义相对论相对的同时性不仅理论上不自洽,而且在现实中不可用,尤其是在地球这样的非惯性参照系之内。

此前我们看到,可以用自洽或不自洽来描述某种同时性,也可以用某种同时性是否独立于参照系的选择来描述它,那么这两种性质之间的关系如何?为了回答这一问题,我们先来证明有关同时性相对于参照系选择的独立性的一个充分必要条件:

命题1.10.4:某种同时性与参照系的选择无关的充分必要条件是在这种同时性下所有惯性参照系的等时线都是线性函数且其斜率相等,亦即这些等时线都是彼此平行的直线。

证明:先证必要性。假定某种同时性的成立与参照系的选择无关,于是对于任一惯性参照系OX内的两个同时发生的事件来说,在相对于OX做速度为v的匀速直线运动的任一另外的惯性参照系O’X’看来它们必然也是同时发生的,这意味着如果以t1t2分别代表这两个事件在OX内的发生时刻,而t’1t’2分别代表这两个事件在O’X’内的发生时刻,则根据推论1.8.11at’2-t2= t’1-t1。假定OXO’X’的标准时间函数分别为Ttx=At+Bx)与T1t’x’=A1t+B1x’),此处我们已经把A1原先的时间坐标t’根据有关假设转换成了t。先考虑O’X’内位于坐标点x’处的时钟,它在时刻t(指“静系”经典时间)将与OX内位于坐标点x1x’+vt的时钟相遇,记此为“事件1”;同理,对任一d>0O’X’内位于坐标点x’+d处的时钟也将在时刻t(仍指“静系”经典时间)与OX内位于坐标点x2x’+vt+d处的时钟相遇,记此为“事件2”。根据此前的说明,事件12OXO’X’两个参照系看来都为同时意味着T1t’x’+d- Ttx’+vt+d= T1t’x’- Ttx’+vt),即[A1t+B1x’+d]-[ At+Bx’+vt+d]= [A1t+B1x’]-[ At+Bx’+vt],化简可得

B1x’+d- B1x’ = Bx’+vt+d-Bx’+vt)……(d1

以下将从方程(d1)出发导出所需的结论。首先,在(d1)的两端同除以d并令dÚ0,得

dB1x’/dx’=[dBx/dx]|x=x’+vt……(d2

请注意,如果(d2)右端的函数dBx/dxx有关的话,则在v0的前提下它在x=x’+vt处的取值一定会跟t有关,但(d2)的左端却与t无关,所以据此可知dBx/dx是一个与x无关的常数k,从而(d2)的右端不仅与x无关,而且也跟x’无关,因为显然x’要么因为x的存在而出现,要么因为其不存在而消失,于是知(d2)的左端也与x’无关,从而左右两端都等于既与x无关也与x’无关的常数k。于是由dB1x’/dx’=dBx/dx=k积分可得,B1x’=kx’+l1Bx=kx+l,其中l1l为与xx’无关的常数,这表明OXO’X’这两个参照系的等时线函数都是线性函数且具有同一斜率,于是命题的必要性部分得证。再证充分性。不难验证以上必要性部分的论证过程其实是可逆的,于是充分性同样成立。命题证毕。

推论1.10.4a(相对同时性不独立于参照系的选择):狭义相对论相对的同时性关于参照系的选择不独立。

证明:狭义相对论中“静系”内的时间被默认为经典力学时间,所以其标准时间函数为Txt=t,即其等时线Bx)及其斜率k都为零,而相对于“静系”以速度v做匀速直线运动的“动系”其标准时间函数为T1xt=t/1-v2/c2-vx/[c21-v2/c2],其等时线B1x= -vx/[c21-v2/c2]的斜率为k1= -v/[c21-v2/c2],由于二者斜率不等,所以狭义相对论相对的同时性关于参照系的选择不独立。当然,这一结论也可以从这个理论的洛伦兹变换的表达式中直接得出。证毕。

推论1.10.4b(同时性的自洽性与它关于参照系选择的独立性二者的关系):如果某种同时性是自洽的,则它必然独立于参照系的选择;但反之则不一定成立。

证明:如果某种同时性是自洽的,则由命题1.10.3可知,在它所从属的计时系统下所有时钟必然无延时同步,或者由推论1.10.3b可知,所说的同时性必然等价于坐标同时性,以上都意味着它必然独立于参照系的选择。反之,如果某种同时性独立于参照系的选择,则由命题1.10.4可知,在这种同时性概念下所有的等时线都是斜率相同的直线;显然,当等时线的斜率不等于零时,等时线上的时钟并非为经典同步,于是所说的同时性不可能等价于坐标同时性这个唯一自洽的同时性,因而所给的同时性也不可能自洽。于是命题得证。

评注:由以上有关命题可知,自洽性是比关于参照系选择的独立性更强的针对同时性的基本性质的刻画:自洽性的成立意味着关于参照系选择的独立性的成立,但反过来却不一定成立;再回到命题1.10.4中,只有当命题中的k=l1=l=0A1tAt)(即运动不存在任何时间效应)时,即有了附加条件之后,关于参照系选择的独立性才意味着自洽性的成立。

最后,我们把坐标同时性的各种等价说法总结一下:

命题1.10.5(坐标同时性的各种等价表述):对于任一给定的计时系统而言,在该系统下坐标同时性成立当且仅当:(1)任一参照系的标准时间函数都具有形式Txt=t;或者(2)所有各处的时钟都无延时同步运行;或者(3)任何两只时钟之间的对时所用的都是相速处处为无穷的对钟信号,或物理上等效于如此;或者(4)刚体运动同时性在任一参照系内成立;或者(5)在该计时系统所定义的同时性是自洽的。

证明:命题1.8.10证明了经典意义下的标准时间函数都具有TOXtx=t的形式;推论1.9.10a1.9.13a证明了刚体运动同时性与坐标同时性的等价;命题1.9.10证明了运动同时与所有时钟无延时同步等价;命题1.10.3证明了同时性自洽与所有时钟无延时同步等价;定义1.9.14与命题1.9.15一起不仅证明了运动同时性与坐标同时性均为绝对的同时性,而且表明如此同时性与所有时钟通过相速处处为无穷的对时信号来实现其同步调节这二者等价。综上,命题得证。

 

1.11本章内容小结

本章的一些核心结论包括:

l  刚体或刚体坐标系是有关运动学研究的最基本前提之一,这一点对经典力学与对狭义相对论其实没有任何区别;然而满足相关运动中不变形要求的并非只有理想的或实际的刚体,因为很多情况下一般的物体同样满足这一前提。

l  运动学的刚体坐标系前提不仅意味着处于匀速直线相对运动状态的两个坐标系内的相关长度可以直接对比,从而确认了它们之间统一的空间尺度,而且意味着异地绝对同时性的成立,从而也确认了它们之间普适的时间尺度;前者排除了狭义相对论中所谓尺缩效应的可能,而后者则在拒绝这个理论的相对同时性的同时,也拒绝了它所谓的时间膨胀效应。

l  相对性作为运动最基本的属性,它既是刚体长度比较原理的直接后果,同时又是这个原理最本质的反映;它一方面意味着处于相对运动状态的两个物体之间的距离与相对速度所各自具有的对称性,另一方面又意味着这两个物体对同一瞬时距离数值或同一瞬时相对速度数值的同步认定。就这层意义下的运动相对性而言,经典力学不仅从形式而且到内容都无保留地接纳了它,而狭义相对论虽名义上接受但实际上却完全拒绝了它。

l  一体性或整体性是对运动物体与物体运动的又一本质刻画,这首先意味着物体做匀速直线平动的实质是构成该物体的所有质点在做既同步又同速的直线运(振)动,其次它又意味着如此同步又同速的质点运(振)动在物体运动方向上所诱发的相速等于无穷,最后它还意味着如此物体运动可用于实现两只异地时钟的绝对同时性;虽然狭义相对论在谈论物体之间的相对运动速度时默认了这样的一体性或整体性,但这个理论的某些后果比如它的洛伦兹变换实际上却完全否定了它。

l  伽利略时空坐标变换是刚体长度不变假设的必然后果,而这个变换与其逆变换之间的对称性又是运动相对性的直接反映;然而一般读者却并不知悉,这个变换的时间分变换与其空间分变换逻辑上并不独立,因为前者乃是后者的直接推论。据此可知狭义相对论的洛伦兹空间分变换因为否定了该变换的刚体长度不变前提而不能成立,而这个变换的时间分变换则因为否定了绝对同时性这一由刚体假设所产生的直接后果而同样没有生存的空间;但不幸的却是,这个变换之所以不能成立还更多甚至更重要的原因。

l  决定时钟相对快慢的有两个基本因素,一个是有关时钟运行机制的基本原理,另一个是确保时钟之间同步运行的实际调节方法;制约前者的包括相对性原理与空间的均匀性,而实现后者的则包括无延时方法与有延时方法,其中无延时方法对应于经典同步概念与绝对的同时性,而有延时方法则对应各种可能的相对同时性。

l  空间的均匀性与各向同性决定了同一惯性系内所有的同类理想时钟都按照同一速率运行,而相对性原理则决定了不同惯性系之间的所有同类理想时钟都按照同一速率运行。表面上,狭义相对论同时接受了空间的均匀性与相对性原理,但实际情况显然比这复杂,比如,虽然相对性原理是这个理论的基本前提之一,但这个理论同时还允许不同惯性系内同类理想时钟具有不同的运行速率这一明显违背相对性原理的核心结论的存在,而事实上,相对性原理不仅否定了狭义相对论钟慢与时间膨胀效应的可能,而且否定了这个理论的尺缩效应,然而更为恶劣却是,钟慢与尺缩各自还有其它甚至更严重的不能成立的理由。

l  虽然光信号是狭义相对论所默认的实现其相对同时性的唯一合法途径,但绝对的同时性理论上却可以通过任何可行的物理过程来实现;然而二者最重要的区别却在于:前者反映的只是一种纯粹人为的规定,而后者则是物理规律的必然。

l  采纳何种时钟与计时机制固然有其人为性与偶然性,然而直接反映最基本物理规律的时钟与计时机制必然是人类最理性而睿智同时也是最优先的选择;由于时间的均匀性流逝既是天体运行诸规律与绝对同时性相结合的产物,又是牛顿第一运动定律与运动相对性的必然后果,因而牛顿有关时间的此类描述与直觉原则上无可厚非,而相比之下,狭义相对论所谓时间膨胀的结论与说法则纯粹是无稽之谈。

l  同时性既可以按照其物理机制来划分,也可以按照其基本性质来区别;前者有坐标同时性与刚体运动同时性等,后者有绝对的同时性与相对的同时性;虽然相对的同时性可以有多种,但在等价的意义上绝对的同时性却只有一个。

l  经典的同步概念亦即绝对的同时性,它可以有多种等价表述:其标准时间函数为Txt=t,即它不仅与x无关,而且也与参照系无关;所有的时钟都在无延时同步运行;实现它的为相速处处无穷的对时信号或物理过程;它是自洽的;它与坐标同时性或运动同时性等价,等。

l  绝对的同时性不仅是理论上唯一自洽的同时性,同时它也是在现代科学研究与人类日常生活中被唯一使用的同时性。

这样,我们不仅深刻揭示了伽利略空间分变换与其时间分变换内在而本质的联系,而且为牛顿有关时间的直觉与描述注入了必要的严密性,但更重要的,我们审视并拒绝了为洛伦兹等人所开启并为爱因斯坦等人所继承并进一步放大乃至扭曲的狭义相对论有关时间、空间以及坐标变换的一些错误乃至荒谬的观点。最后,我们提醒读者,本书仅仅为运动学有关问题的研究提供了一个初步的时空背景与理论框架,而更系统、更深入的探讨尚在后面,所以我们的工作只是刚刚开始,而不是结束。

 

参考文献:所有的.pdf文件均供直接下载,如无意下载,请勿点击):

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https://ia802304.us.archive.org/17/items/dialoguesconcern00galiuoft/dialoguesconcern00galiuoft.pdf (英文版)

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http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/259 (网上阅读)

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 https://archive.org/details/131123ExplanatorySupplementAstronomicalAlmanac(网上阅读或下载)

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