天蓉

怀尔斯如何证明“谷山-志村猜想”的？109页的证明太难懂，也许此文可以帮助你了解个大概……

图1：费马大定理FLT的证明之路

1，最后的英雄

从上一篇的描述，1986年，怀尔斯开始追逐完成他的少年梦之时，似乎已经是到了“万事俱备只欠东风”的时刻。正如图1所示，弗雷、塞尔、黎贝的工作已经铺好了道路，现在只剩下找到最后的钥匙：只要能部分（对半稳定椭圆曲线）证明谷山-志村猜想，就自动证明了费马大定理。

为什么当年的数学家们没有对此趋之若鹜呢？其实事情不是那么简单，30年来所有企图证明该猜想的努力，都以失败告终。大多数数学家都认为这是一块搬不动的大石头，即使是黎贝也没有想到过要去试一下证明它。

只有怀尔斯意识到了这是个机会，毕竟10岁就开始做梦了！因此，他在完全保密（除了妻子）的状态下，展开了一个人对此困惑数学界三百多年谜团的挑战。

1993年6月23日，剑桥牛顿研究所，怀尔斯结束了他三场数学讲座的最后一场：本世纪数学界最重要的一次演讲。他在黑板上写下费马大定理的结论，然后转向听众，脸上露出孩童般天真的笑容，声调平和地说：“我想我就在这里结束。”他的结论惊呆了现场的几百名数学家！接着，会场上爆发出一阵持久的掌声，欢呼费马的挑战被征服。

怀尔斯演讲的第二天，数学家第一次占据了报纸的头版头条。《人物》杂志将他列为“本年度25位最具魅力者”之一，一家时装公司请这位不善表演的数学天才为他们的新系列男装做广告。

不过，事情尚未完满结束，接下来是苛刻严厉的审稿过程，审稿人从怀尔斯的证明过程中发现了一个必须解决的“小问题”。这次，怀尔斯找了一个帮手，另一位英国数学家理查·泰勒（Richard Taylor，1962-），共同奋斗了14个月。在最后似乎“山穷水尽”之时，一个突然的灵感给怀尔斯带来“柳暗花明”的转机，帮助他找到修补问题的答案。怀尔斯最后的成功与他曾经抛弃的岩泽理论有关。358年前的最后猜想终于成为了“最后定理”！

2，有关数学

本节简单介绍怀尔斯证明的相关数学^【1】。

重温上篇文章的结论，怀尔斯的目标是：对“半稳定椭圆曲线”证明谷山-志村猜想。换言之，怀尔斯需要证明每一条“半稳定椭圆曲线”都是模的。

结合之前数学家的功劳，基本数学关系可用反证法这样表述：假设费马最后猜想不正确，即

Aⁿ + bⁿ = cⁿ

对某三个整数a , b , c成立，那么考虑方程

 y² = x  ( x - aⁿ ) ( x + bⁿ )

所表示的弗雷曲线E，这是一条半稳椭圆曲线。黎贝已经证明了E 不是模的。如果怀尔斯证明了所有“半稳定椭圆曲线”都是模的，那么E是模的，这就导致了矛盾。矛盾说明原来的假设不对，弗雷曲线实际上不存在，然后即得费马大定理正确。

“半稳椭圆曲线”是这样一种椭圆曲线，当对任何素数进行模约化时，它顶多只有一个奇点。本质上，它是一种在不同的素数域（有限域）上行为良好的椭圆曲线。

要得到有限域上的椭圆曲线，一个方法是对椭圆曲线E做模p（mod p）约化，意思是不在乎方程的p的整数倍的整数解。因此，约化后的椭圆曲线定义在一个有限域Fp上，记为E(Fp)。

假设这个有限集合Fp的个数为r（椭圆曲线的秩）=  #E(Fp)。然后，定义：

a_p = p+1-#E(Fp)，

如果a_p恰好是一个模形式的傅里叶变换的系数，椭圆曲线E(Fp)就叫做“模的”。

例如：

怀尔斯通过相应的伽罗华表示的模性质来证明模性定理。他首先考虑p=3的情况，证明E(3)是模的，然后运用“提升”的方法，将E(3)的模性“传染”给E，最终证明了有理域上的所有半稳椭圆曲线都是“模的”，再由此而推出费马大定理。

怀尔斯也指出他的方法可以推广到全实数域的椭圆曲线，因此后来，布勒伊、康莱德、戴蒙德和泰勒，于1999完整地证明了模性定理。

3，费马大定理的启示

证明费马大定理的过程中，怀尔斯的治学方法和奋斗精神鼓舞人心，数学家的执拗劲和想象力令人钦佩。摈弃名利，保持好奇心，坚持不懈的努力，才是我们每一个科研工作者应该恪守的美好的初心。

从我们对费马大定理的系列文章中已经可以看出，好的数学问题是“一只会下金蛋的鸡”，它使得数学的不同领域之间架起沟通的桥梁。例如，在破解费马大定理的过程中，数学家们在模形式与传统数论中的椭圆曲线之间，在复分析与数论之间，构建了一个一个通道。怀尔斯对“谷山-志村猜想”的证明不但证明了费马大定理，还启发了许多其他的数学领域。费马提出的问题，在近400年之后，还在指引人类攀登新的数学高峰。

费马大定理的破解，促进了数论与代数几何、复分析等多个数学领域的交叉融合，推动了整个数学学科的进步，例如也促进了“联系数论、代数几何与约化群表示理论等数学中一系列影响深远的构想”，被誉为“数学的一种大统一理论”的朗兰兹纲领^【2】的研究。

参考资料：

【1】The Proof of Fermat’s Last Theorem by R.Taylor and A.Wiles：

https://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf

【2】朗兰兹纲领：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E7%B6%B1%E9%A0%98