戴榕菁

前文“哲学无穷大与数学无穷大”【[1]】中提到在academia.edu的GM Jackson的一篇试图将康托关于无穷大的错误理论合理化的题为“Why Different Infinities Are Really Equal” 的文章的讨论中，我指出在哲学上无穷大是一个标志着大于任何一个数的概念，而在数学上无穷大则是基于哲学的无穷大概念的度量，而不同背景条件下的数学无穷大的度量意义是不同的，因此数学上的无穷是不会如Jackson他所要证明的那样相同的。

虽然基本上没有人提出什么异议，我可以感受到那里参加讨论的人并没能真正理解我上面提到的论述。。。。相应地，他们之间的争论继续着，争论的焦点变为无穷大到底是否为一个数值。从他们的讨论可以看出那里参加讨论的基本上都是搞数论和集合论的专业数学界人士，对相关的定理及理论都很熟悉，但在与之相关的哲学上的认识上却都相当欠缺。比如，由于康托的影响，使得该讨论文章的作者Jackson对于n/0以及无穷大的意义产生了混乱和困惑。针对这一点，我表达了我的下述观点（参见附录）：

（1）

从小我们都应该在学校里学到n/0 是不存在的, 也就是说. n/0 不是一个数。类似地，n/0 = ∞是不ok的, 而当x → 0 时lim n/x = ∞ or y 是ok的。这是因为∞大于任何一个数，因此它本身就不是一个数。相应地，对于数值进行的运算就不宜用于∞。也就是说：

n × ∞ = ∞ 不ok 而 lim n × u = ∞ 当 u → ∞ 时 ok。

n + ∞ = ∞ 不ok 而lim n + u = ∞当u → ∞ 时 ok。

n / ∞ = 0  不ok 而lim n / u = 0, m, 或 ∞ 当u → ∞时 ok。

∞ + ∞ = ∞不ok 而lim n + u = ∞ 当n → ∞ 和u → ∞时 ok。

∞ × ∞ = ∞不ok 而lim n × u = ∞ 当n → ∞ 和u → ∞时 ok。

∞ / ∞ = M  不ok 而lim n / u = 0, m, 或 ∞ 当n → ∞ 和u → ∞时 ok。

（2）

人们可以任意定义他们自己想要的形式系统。比如，他们可以定义∞+ ∞= ∞, ∞ × ∞ = ∞, ∞ - ∞ = M, n × ∞ = ∞, n + ∞ = ∞, 等等。但是，当他们这么做的时候，他们已经制造出了一个与具有“大于任意一个数”的哲学意义的∞相矛盾的特殊的∞。。。也就是说，他们制造了他们自己的一套游戏体系而已。

人们是否可以将这样的游戏体系做实际的应用呢？

在特定的条件下，只要不会引起逻辑上的冲突，人们也确实可以将他们自己随心所欲定义的形式系统应用在现实世界的实践中。。。。这就是好比每个人都可以有自己的速记的系统，但这并不意味着别人就能读懂你用速记写下的内容。至于你自己的速记是对是错也只有当你把你记的内容拿出来与现实对比时别人才知道。。。。如果你做速记只是为了自嗨，那么别人也完全没必要在乎你记录的是什么。

所以，当人们将他们自己所定义的关于∞的形式系统用于现实生活时，他们应该记住这一点：他们的系统与现实之间是有着裂缝的，在某些情形下，他们的脚有可能被卡在那些缝隙中的。

比如，人们常把tan(π/2) = 1/0 写成∞，但是实际上，tan(π/2)与tan(π/2-ε)在几何意义上有着本质的区别，因为在一个直角三角形内，当一个锐角增大到π/2时，那个三角形就不复存在了。所以tan(π/2) = ∞ 就相当于人们用来记录一个并不存在的内角的正切值的速记符号，一个用来表示当ε趋于0的时候，tan(π/2-ε)  之极限值的速记符号而已。

尽管上述内容非常地哲学但它们丝毫也不比数学来得不真实。

（3）

Jackson在回应我的上述论述时说【Real numbers require that there be an infinite number of numbers between, say, 0 and 1.  It's tough to have a concept of real numbers without evoking infinity. 】

我对此回复说：当你说实数要求0和1之间有无穷多个数的时候，我猜在你的潜意识中那个无穷大就是“大于任何一个数”的哲学概念，这是没有问题的。。。。但是，当你打算将∞ + ∞ = ∞应用于实数时，你的∞就不再是那个单纯的古老的∞概念了，你步入了一个具体的度量系统，在那里你将与常识或自伯努利和洛必达以来人们已经知道了数百年的知识发生冲突。比如，你会象康托一样地声称一个正方形的一边上的点与整个正方形上的点的数目完全一样，那不但是错的，而且是荒诞的。

（4）

关于无穷大的一个易让人不小心犯错的议题是所谓的空间中含有无限多个几何点，那些点通过笛卡尔映射也与无限多个实数相对应。

空间中含有无限多个几何点的概念是基于几何点没有体积这一概念构建的，而这一概念曾给芝诺和亚里士多德造成麻烦，甚至在牛顿通过微积分解决了与所谓零体积几何点和无限多个点相关的问题后，黑格尔和罗素（他同时也是一位专业的数学家）还在相关的问题上跌跤。 这里的“零体积几何点”是一个由人类想象力构造出来的抽象概念，这个抽象概念具有自身的矛盾性......如果一个点没有体积，它不应该占据空间，但如果它不占据空间，无论沿着哪个方向堆叠多少个它都不会积累。

这时哲学便有了用武之地。。。。哲学的思维告诉我们：利用人类想象力的目的不是破坏人类对自然的反映，而是帮助人类更好地感知自然。显然，将零体积几何点的自相矛盾概念扩展到计数实践中以使∞+∞=∞有效则会导致逻辑错误。因此，尽管没有生物法则或心理法则来阻止你进行这样的想象，你也不应该不合理地应用你的想象。

（5）

Jackson对我上面的这个评论回应到：【Ron, I don't disagree. But I wonder how many zeros it would take to make 5? How about 5/0 zeros? Where 0 * 5/0 = 5.】

对此，我做了如下的回复：

不论有多少个0，它们都无法构成一个5。当黑格尔试图证明无中生有时，他在这个问题上跌了跤。。。。他实际需要的应该是微积分，但微积分是一种无法用不具备无限逼近概念的自然语言来表达的特殊的数学语言。。。。黑格尔非常努力地做了论证，但我不认为他把问题说清楚了。

当罗素想用集合论来表达时间的瞬间时，他也在这个问题上跌了跟头。。。。他遇到了你们现在面临的同样的问题：因为集合论缺乏无限逼近的概念，所以它无法用来表达微积分。

人类的数字系统来自数千年前的计数实践。。。。但人类数字系统本身并不含有牛顿的微积分工具。。。。现在你和这里其他的数论方面的数学专业人员可能很不愿意听到我这么说。。。。但我要说的是：你们最好还是接受人类的计数系统中所存在的不足之处吧！

很显然，作为一个集合论的数学家，罗素没有意识到人类计数系统中的上述缺陷，然后作为因其在哲学上的贡献而获得诺贝尔（文献）奖的人，他最终也没有认识到导致他无法用集合来表达时间瞬间的真正原因是什么。。。。

结束语

本文的内容可以帮助读者更好地理解“哲学无穷大与数学无穷大”【1】一文中提到的哲学无穷大与数学无穷大的区别。。。。

其实，作为这次讨论之收获的本文和上次的“哲学无穷大与数学无穷大”的意义有可能远超出前两次参加Jackson讨论后所写的两篇英文文章【[2],[3]】及与之相关的中文文章【[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10]】。那两次的讨论促使我推翻了著名的康托连续性假说（即希尔伯特第一问题）且提出了被数学界忽略但在物理实践（尤其是在揭露物理学界实验造假方面）有着重要意义的一个定理，说起来都是非常有意义的具体收获，但是这一次讨论所促成的这两篇文章为撼动被康托整歪了的现代数学奠定了坚实的哲学基础！

这里的要点是：即便在康托之前，虽然无穷大的概念是自古希腊时期就有了的，从未有人如本文和“哲学无穷大与数学无穷大”一文那样对无穷大的哲学概念进行深入的剖析讨论（否则的话那群数论专业的人也就不会那么糊涂了，作为数论专家的罗素也不会在相应问题上跌跤了，希尔伯特也不会被康托忽悠了，而康托自己也不会忽悠他自己了）。。。。相信在不久的将来人们会在数学界看到对本文内容的回响。。。。

感谢上帝！荣耀归于上帝！