中微子传奇，中篇——众说纷纭超光速，扑朔迷离中微子：（6B）、对专家的中微子“偷跑”说的更多透视与质疑

让我们把由重力所诱发的核心崩溃论超新星爆炸模型的一些核心环节再简单地回顾一下：

1、内核崩溃，中微子逃逸Ú2、外核悬停Ú3、内核反弹Ú4、内、外核遭遇，冲击波形成并向外传播Ú5、传播至恒星表面附近的冲击波将其外层物质抛向太空并形成超新星爆炸Ú6、核心继续收缩，形成密度极高但体积却极小的中子星或黑洞。

接下来让我们对以上所列的每一个核心环节进行透视与质疑。

1、  内核崩溃，中微子逃逸

关于（1），我们有如下疑问：A、内核崩溃的理论基础究竟是什么？B、内核崩溃真的会发生吗？C、假如内核崩溃真的可以发生，但它一定会产生诸如超新星爆炸那样剧烈的宏观效果吗？

先回答问题（A）；内核崩溃的核心理论依据是，内核中处于退化状态（degenerate state）的电子或中子，其所承受的最高压力是有上限的，当恒星核心的自身质量所造成的压力超过这个极限值时，内核就会崩溃，这个极限质量数值为大约1.4个太阳质量，它又叫做Chandrasekhar极限质量。

事实上，最先发现这个极限质量的不是印度学者Subrahmanyan Chandrasekhar（1910-1995），而是爱沙尼亚的德裔学者Wilhelm Anderson（1880-1940）与英国学者Edmund Stoner（1899-1968）。以下以Stoner的文章（【Stoner1930】）为参照对有关内容进行介绍，但这篇文章针对的是电子退化态，而超新星爆炸模型中涉及的其实是中子退化态，所以我们需要把Stoner的最后结果做适当的重新解读。

Stoner有关结果的科普版：

在量子力学的退化态有关假设以及相对论的动能与动量关系假设下，Stoner分别计算出了恒星的动能与自重力势能，从而得出恒星的总能量表达式；一般来讲，这个总能量是随着恒星密度的变化而变化的，特别地，如果要求处于力学平衡态的恒星其总能量为最小的话（亦即最小能量原理成立），则据此要求可以确定出恒星的质量M随其密度n变化的关系式，Stoner（惊奇地）发现，随着n的逐渐增大乃至趋于无穷，M虽然也在一直增大，但其数值却总是不超过某个有限的临界数值M_c，这个M_c就是后来所说的Chandrasekhar极限质量的最初渊源。如果读者不明白这里有什么可吃惊的，那acarefreeman再换个方式把以上结果重述一下：Stoner其实发现了，随着恒星的质量M的逐渐增加，它的半径R却反而逐渐减小，以至于当M无限趋近于某个有限数值M_c时，其半径R最终趋向于了零！

Stoner有关结果的专业版（不具备微积分基础的网友可以略去这一部分）：

为了简化问题，Stoner假定处于退化态的电子数密度（即单位体积内所含的电子数目）是均匀的，并以n表示之，再假定V为恒星的体积，M为其质量，m₀为电子的（所谓）静止质量，ε为电子动能，v为电子速度，p=mv为电子动量，p₀为最大电子动量，m_H为氢原子质量，h为普朗克常数，G为万有引力常数，c为光速常数，π为圆周率，并令x=p₀/（m₀c），或者等价地，p₀=m₀cx，则可以建立以下几个基本关系：

（1）       电子的相对论动能与动量关系：ε=ε(p)=m₀c²{[1+p²/（m₀²c²）]^1/2-1}，此即【Stoner1930】的方程（6）。

（2）       动量不超过p₀的所有电子的总动能表达式E_k=∫^p0 ₀[ε(p)][2(4πp²dp/h³)V]= ∫^p0 ₀ m₀c²{[1+p²/（m₀²c²）]^1/2-1}[(8πp²V)/h³]dp，此即【Stoner1930】的方程（7）。

于是可以计算出E_k=[(8πVm₀⁴c⁵)/h³]{（1/8）x（1+x²）^1/2（1+2x²）-x³/3-log[x+（1+x²）^1/2]}= [(8πVm₀⁴c⁵)/h³]f₁（x），其中f₁（x）≡{（1/8）x（1+x²）^1/2（1+2x²）-x³/3-log[x+（1+x²）^1/2]}，此即【Stoner1930】的方程（12），其中x= p₀/（m₀c）=[h/(m₀c)][3/(8π)]^1/3(n)^1/3(参见以下（3）)。

（3）       电子最大动量p₀与电子数密度n的关系：∫^p0 ₀[2(4πp²dp/h³)V]=nV，即n=8πp₀³/（3h³），此即【Stoner1930】的方程（8）的第一式；又由p₀=m₀cx可知，n=8π（m₀cx）³/（3h³），或者（n）^1/3=（8π/3）^1/3（m₀cx/h），或x=[h/(m₀c)][3/(8π)]^1/3(n)^1/3。

（4）   恒星自身势能的计算：dE_G= -GM（r）dm/r= -GM（r）（4πr²drρ（r））/r= -4πGM（r）ρ（r）rdr= -4πG（∫^r₀4πr²ρ（r）dr）ρ（r）rdr= -（4π）²G（∫^r₀s²ρ（s）ds）rρ（r）dr âE_G= -（4π）²G∫^R₀[（∫^r₀s²ρ（s）ds）rρ（r）]dr=（*假定ρ（r）≡ρ为常数*） -（4πρ）²G（R⁵/15）= -（9M²/R⁶）G（R⁵/15）= -（3/5）GM²/R。再由（4π/3）R³ρ=M得（1/R）=（4πρ/3）^1/3/（M）^1/3，于是E_G= -（3/5）GM²（4πρ/3）^1/3/（M）^1/3= -（3/5）GM^5/3（4πρ/3）^1/3。又，如果假定恒星物质分子（离子）的平均质量为2.5m_H，则ρ=（2.5m_H）n，从而E_G= -（3/5）GM^5/3（4πρ/3）^1/3= -（3/5）GM^5/3（4πn/3）^1/3（2.5m_H）^1/3= -（3/5）GM^5/3（4π/3）^1/3（2.5m_H）^1/3（n）^1/3，此即【Stoner1930】的方程（15a）；如果再利用（4）中的结果（n）^1/3=（8π/3）^1/3（m₀cx/h），或n=（8π/3）（m₀cx/h）³，则有E_G= -（3/5）GM^5/3（4π/3）^1/3（2.5m_H）^1/3（8π/3）^1/3（m₀cx/h）= -3^1/3（4π/5）^2/3（1/h）GM^5/3m_H^1/3m₀cx，此即【Stoner1930】的（15b）式（本作者注：疑原文中该式丢了前面的负号）。

（5）   再在（2）中E_k的表达式中利用V=M/ρ=M/(2.5m_Hn)以及n=（8π/3）（m₀cx/h）³，可得E_k= [(8πm₀⁴c⁵)/h³][M/(2.5m_H)][3/(8π)][h³/(m₀cx）³]f₁（x）=[(3Mm₀c²)/ (2.5m_H)][f₁（x）/x³]，此即【Stoner1930】的（16）式，其中f₁（x）={（1/8）x（1+x²）^1/2（1+2x²）-x³/3-log[x+（1+x²）^1/2]}。

（6）   最后，Stoner断言，当恒星达到力学、热力学等平衡时，其总能量相应地应该达到该函数的最小值（最小能量原理），从而d[E_k+E_G]/dn=0，或者利用n与x的关系，有d[E_k+E_G]/dx=0；把（4）与（5）中有关E_G与E_k的结果代入前式并化简，可得F(x)≡d[f₁（x）/x³]/dx=10^1/3(π/3)^2/3[(GM^2/3m_H^4/3)/(hc)]=1.483*10^-23M^2/3，于是M=1.751*10³⁴[F（x）]^3/2=M_c[4F(x)]^3/2，这里M_c≡[3/(8π(10)^1/2)](hc/G)^3/2(1/m_H²)表示临界或极限质量。不难计算F(x)= d[f₁（x）/x³]/dx=d{（1/8）x（1+x²）^1/2（1+2x²）/x³-1/3-log[x+（1+x²）^1/2]/x³}/dx=[1/(8x³)][3 log[x+（1+x²）^1/2]/x+（1+x²）^1/2 (2x²-3)]，于是反映恒星质量随着其密度变化函数关系的y=M/M_c=[4F(x)]^3/2的图像如下：

从图中可以清楚地看出，恒星质量将有一个最大值M_c，不难算出M_c为大约1.1个太阳质量，这个数值比当今所用的大约1.4个太阳质量要小，但其导出思路没有任何实质不同；但更关键的一点，由于M_c的表达式中其实不含电子质量，所以相关专家便拿它也作为中子退化态的极限质量数值。

这样，Stoner的有关结果至少包含了三个核心假设：一、电子的相对论动能与动量关系，其实也是相对论动能与速度的关系；二、处于退化态的电子其动量的离散化，亦即量子化；三、基于量子化原则与不相容原理的电子的空间分布方式。请读者注意，以上三个假设中的任何一个不成立都将导致Stoner最终结论的不成立，但可悲的是，根据acarefreeman的分析与判断，以上三个假设原则上都是不能成立的。关于（一），任何粒子超光速实验结果都将否定它，但其实亚光速粒子的动能与速度实验结果也可以否定它，在本科普系列结束之际我们会对此问题有个总交代，但急于知道结果的读者可以先参考【Kalbfleisch1979】（“Abstract”内：“No energy dependence of the velocities of neutrinos or antineutrinos is observed within the statistical and systematic errors over the energy range 30 to 200 GeV.”）、【Adam2011】（https://arxiv.org/vc/arxiv/papers/1109/1109.4897v1.pdf;  “Conclusions”内：“The dependence of δt on the neutrino energy was also investigated. …… This provides no clues on a possible energy dependence of δt in the domain explored by OPERA within the accuracy of the measurement.”）、以及【Adam2012】（https://arxiv.org/pdf/1109.4897.pdf; “Conclusions”内：“The dependence of δt on the neutrino energy was also investigated yielding a null effect.”）。

关于（二），acarefreeman提醒读者，Stoner的电子动量量子化之说不是现代量子力学的标准内容，而退化态的电子动量量子化观点更是如此，事实上，与现代量子力学中电子量子化假设有关的所有核心内容都以原子与电子的有序结构为前提，亦即量子化只是对物质结构与秩序性的必然反映，但退化态的电子无此结构与秩序性，所以没有任何理由认为Stoner的量子化假设可以成立，但这个不是acarefreeman质疑Stoner唯一原因，甚至不是最重要的原因，请参考以下（三）。

关于（三），同样地，（泡利）不相容原理也只适用于拥有有序结构的原子与电子，没有任何理由或证据相信它在退化态物质中仍然成立，此其一；也没有任何理由或证据相信量子化的电子动量是按照普朗克常数h的整数倍N=1,2,3，……连续不间断且完全有序地分布的，对于退化态电子更是如此，所以acarefreeman判断（三）同样不成立。Stoner的以上诸假设用到中子身上相信问题更多，但限于篇幅，这里先省略了。

待续。